立體幾何中軌跡問題的方程解法探究

? 湖北省武漢市馬房山中學 魯前國 ? 湖北省武漢市武昌區教育局教研培訓中心 劉 欣

立體幾何中的動點軌跡問題,在每年的高考復習備考中絕對是一個不會被遺忘的專題,在高考試題中也時有出現,多以選擇、填空題的形式呈現,立足于知識的交匯點設計試題,題型新穎靈活,考查各部分知識間的縱向和橫向聯系,考查學生的創新意識和創新能力,滲透數學思想方法,體現新課程標準的要求,突顯數學核心素養.由于這類問題往往具有較為復雜的空間幾何體的結構特征,因此很多學生常常束手無策.下面以兩道高考真題為例,探究兩種不同模式的解題途徑,通過對比體驗方程解法的魅力!

1 解法探究

思路一:要求交線長,首先必須明確交線是何種幾何圖形.球面與平面相交時,交線一定是圓,在本題中,球面與側面BCC1B1的交線就是圓在側面BCC1B1上的一部分,因此解決問題的關鍵,就是找到圓心的具體位置,求出半徑和圓弧所對圓心角的大小.

解法1:如圖1,取B1C1的中點E,BB1的中點F,CC1的中點G.

圖1

又因為四棱柱ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1D1,于是所以BB1⊥D1E.而BB1∩B1C1=B1,所以D1E⊥側面B1C1CB.

圖2

在坐標平面xBz內,令x=0,得F(0,1);令x=2,得G(2,1).

試題二(2006年北京卷)平面α的斜線AB交α于點B,過定點A的動直線l與AB垂直,且交α于點C,則動點C的軌跡是( ).

A.一條直線 B.一個圓

C.一個橢圓 D.雙曲線的一支

解法1:如圖3,設l與l′是過定點A與AB垂直的任意兩條直線,則這兩條直線確定平面β,且斜線AB⊥平面β.過平面外一點有且只有一個平面與已知直線垂直,可知過定點A與AB垂直的所有直線都在平面β內,故動點C在平面β與平面α的交線上,問題轉化為兩平面的交線問題.

圖3

故選擇:A.

解法2:以B為原點,建立如圖4所示的空間直角坐標系,其中x軸、y軸在平面α內,z軸垂直于平面α.

圖4

設直線l上任意點P(x,y,z),A(a,b,c),則

所以a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0.

即ax+by+cz-(a2+b2+c2)=0.

令z=0,得坐標平面xBy即平面α內動點的軌跡方程為ax+by-(a2+b2+c2)=0,是一條直線.

故選:A.

解題思考:解法1中,動直線l形成過點A與AB垂直的平面β這一思維過程難度較大;解法2中用方程反映動直線上任意一點的空間變化規律,通過令z=0轉化為平面內的變化規律,顯得輕而易舉!

2 解法應用

例題在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,且PA=2.若點E,F分別為AB,AD的中點,則直線EF被四棱錐P-ABCD的外接球所截得的線段長為______.

以A為原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖5所示的空間直角坐標系,則E(1,0,0),F(0,1,0),O(1,1,1).

圖5

“數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔離分家萬事休”,這是華羅庚先生對數形結合思想的精辟描述.本文中筆者從方程的角度出發,將復雜的立體幾何問題代數化,數形結合,相得益彰!