平面向量問題常用方法

? 甘肅省會寧縣第四中學 張成武

平面向量集“形”“數”于一體,是溝通代數、幾何與三角函數等相關知識的一種重要工具.平面向量作為高中數學中一個特殊的知識點,成為銜接代數與幾何的紐帶,溝通“數”與“形”,是數形結合的典范,因此解決相應的平面向量問題時,需要具有多種技巧策略與思維意識.

1 定義法

定義法是解決平面向量問題的一種最基本的方法,對于平面向量的相關知識來說,例如知道了相關向量的“模”和“夾角”,數量積問題就可以從定義本身入手加以解決.

分析:根據題目條件,利用三點所對應的三角形為直角三角形,結合平面向量的數量積定義即可處理;結合平面向量中的關系式特征,通過整體思維法來處理,也是一種不錯的選擇.

故填:-25.

故填:-25.

點評:定義法是解決問題的本質方法,涉及夾角、數量積、投影、模等相關知識的問題,抓住平面向量中的相關定義,一般都可以得到很好的解決.定義是數學知識的根本,也是解決問題的主要依據.

2 基底法

基底法是指利用平面向量的基本定理以及平面向量的線性運算,將問題中的平面向量轉化為已知的兩個不共線的平面向量的線性關系,結合平面向量的模、夾角、數量積等公式來分析與求解.

A.0 B.2 C.-2 D.-4

故選:A.

點評:根據題目條件確定一組相應的基底向量,是基底法解決平面向量問題的關鍵所在.一般滿足條件的基底是各自的模確定或二者之間的夾角確定的一組不共線的向量,借助平面向量的線性運算加以合理化歸與轉化,進而結合向量的概念、性質以及模、數量積公式等來分析與解決.

3 坐標法

坐標法是建立適當的平面直角坐標系,將平面向量用坐標的形式表示出來,結合對應的坐標運算,利用函數與方程思想來分析與求解.有時坐標法可以用來解決一些較為復雜的平面向量問題.

A.8 B.16

C.32 D.不能確定

分析:根據平面向量自身“數”的因素,通過圖形特征,合理構建平面直角坐標系,結合對應點坐標的確定以及動點的設置,利用平面向量的坐標運算與模的公式來構建對應的關系式,進而結合條件來分析與處理.

建立如圖1所示的平面直角坐標系xOy,則可知A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1).設P(x,y),則有x2+y2=2.

圖1

點評:利用坐標法解決平面向量問題時,合理構建平面直角坐標系是解決問題的基礎.借助坐標的確定與坐標運算,綜合平面解析幾何的相關知識來分析與處理,是解決平面向量問題中比較常用的一種技巧策略,也是研究平面向量問題的一種“通技通法”.

4 代數化法

代數化法是利用平面向量自身所具備的“數”的性質,通過代數語言翻譯已知平面向量問題中的條件和所求結論,借助代數運算來分析與解決相應的平面向量問題,充分體現化歸與轉化思想等.

分析:結合平方處理,將平面向量模的不等式恒成立問題轉化為二次不等式恒成立問題,結合函數與方程思維,利用判別式非負來構建三角不等式,進而得以確定向量的夾角問題.

解析:設向量a與b的夾角為θ.

由|a+xb|2≥|a+b|2,可得

a2+2xa·b+x2b2≥a2+2a·b+b2.

①

點評:通過平面向量自身具有的“數”的性質,從“數”的視角切入,結合函數與方程、不等式等代數思維進行轉化與運算,也是解決平面向量問題中的一種化歸與轉化思想與技巧策略.

5 幾何法

幾何法是把平面向量問題利用平面幾何的思想和方法,轉化為平面幾何問題,再利用平面幾何的相關知識與方法來分析與解決.幾何法中有幾個基本的問題必須并清楚,如共線問題、共點問題、構造三角形、解三角形等.

分析:根據題目條件,整體構建平面向量,通過平面向量的線性運算加以轉化,結合題目背景加以幾何化處理,數形結合,直觀形象地確定圓的弦長問題.

圖2

點評:通過平面向量自身具有的“形”的特征,從“形”的視角來切入,利用平面幾何圖形、平面解析幾何曲線等加以數形結合,直觀形象地從幾何意義視角來分析與解決相應的平面向量問題.合理的“形”直觀,巧妙的形象處理,實現特殊平面向量問題的幾何意義化與直觀化.

平面向量具有“數”與“形”的雙重特點,是數形結合自然一體的“橋梁”.這也為解決相關平面向量問題提供了更為廣闊的空間.既可以將幾何問題代數化,借助坐標、符號、數量等,將推理轉化為數學運算來處理;也可以將代數問題幾何化,借助幾何意義、圖形等,將運算轉化為直觀模型來解決.選擇最為合適的思維視角與技術策略,是解決平面向量問題的關鍵一環.