創(chuàng)新設計,巧妙破解,探究拓展
——2021年高考數(shù)學上海卷第11題的探究

? 江蘇省宿遷中學 徐士權

直線與拋物線的位置關系問題,一直是高考數(shù)學試卷中的一類常見考點,設置巧妙,形式各樣,變化多端.2021年高考數(shù)學上海卷第11題就是以拋物線為問題背景,通過直線與拋物線的位置關系所產(chǎn)生的具體三角形的三邊長,創(chuàng)新設置問題,新穎別致,是一道令人眼前一亮的創(chuàng)新題,值得好好研究、挖掘.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題(2021年高考數(shù)學上海卷第11題)已知拋物線C:y2=2px(p>0),若第一象限內的點A,B在拋物線C上,焦點為F,且|AF|=2,|BF|=4,|AB|=3,則直線AB的斜率為______.

2 真題剖析

該題以拋物線為問題背景,結合拋物線的焦點,以及拋物線上的兩點所構造的邊長確定的三角形為載體,進而確定拋物線上的兩點所對應的直線的斜率.

具體破解時,可以通過直線的斜率公式,結合點差法的應用來處理;也可以通過解析幾何的平面幾何化,利用斜率的定義,數(shù)形結合來直觀處理;還可以利用題目中已知的弦長,結合弦長公式代入來求解.無論采用何種方法破解,都離不開拋物線的定義及其應用,借助拋物線定義的轉化,或代數(shù)運算,或數(shù)形結合,或公式應用等,都可以很好地達到目的.

3 真題破解

方法1:點差法.

點評:設出兩點的坐標,結合拋物線的定義與兩點間的距離公式確定參數(shù)之間的關系,利用點差法及直線的斜率公式即可求解.利用拋物線定義可以有效轉化焦半徑問題,實現(xiàn)焦半徑與相應點的坐標之間的聯(lián)系,在處理一些長度問題中經(jīng)常用到.點差法是處理直線斜率問題比較常用的方法.

方法2:平面幾何法.

解析:如圖1所示,過點A,B分別作拋物線C的準線的垂線,垂足分別為P,Q,作AM⊥BQ,垂足為M.

圖1

根據(jù)拋物線的定義,可知|AP|=|MQ|=|AF|=2,|BQ|=|BF|=4,則|BM|=2.

點評:結合拋物線的定義,建立對應的平面幾何圖形,在直角三角形中,利用勾股定理,以及三角函數(shù)來求解對應直線的斜率.利用平面幾何法處理解析幾何問題,更加直觀形象,關鍵是建立平面幾何中點、線、角與對應解析幾何中元素的關系,合理應用,巧妙轉化.

方法3:弦長公式法1.

解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1>0.

設直線AB的斜率為k,且k>0.

點評:利用弦長公式法求解,簡單快捷.借助弦長公式的應用建立相應的關系式,代入相關的數(shù)值即可巧妙求解.

方法4:弦長公式法2.

設直線AB的斜率為k,且k>0.

4 變式拓展

探究1:保留題目背景,交換題目部分條件與結論之間的位置——已知拋物線上兩點所對應直線的斜率,進而確定這兩點間的距離問題.這樣變式處理,考查的知識點基本不變,難度比原問題有所下降.

解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),其中x2>x1>0.

點評:直接根據(jù)題目條件,在利用拋物線定義進行轉化的基礎上,確定兩點對應橫坐標的差值,再直接利用弦長公式求解對應的弦長即可達到目的.設置更加直接,處理起來更加方便快捷.

探究2:保留題目背景與部分條件,改變原來兩點均在第一象限的位置關系,轉化為其中一點在第一象限,另一點在第四象限,同時改變這兩點間的距離,得到變式2,考點一致,難度相當.

變式2已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點為F,若第一象限內的點A與第四象限內的點B均在拋物線C上,且|AF|=2,|BF|=4,|AB|=5,則直線AB的斜率為______.

點評:同樣,除了利用拋物線的定義進行轉化,借助平面幾何知識來處理,也可以利用弦長公式求解.具體解答過程可以參照真題的破解方法,這里不多加敘述.當然,改變兩點在不同象限內的情況,還可以得到相應的變式問題.

5 教學啟示

(1)回歸拋物線的本質,拋物線的定義先行

拋物線的定義反映了拋物線自身的本質特征,揭示了相關曲線存在的幾何性質與特征規(guī)律.在實際破解相關問題中,合理回歸、巧妙應用拋物線定義,實現(xiàn)“拋物線上的點到焦點的距離”與“該點到準線的距離”二者之間的合理變形與轉化,實現(xiàn)“兩點距離”或“點線距離”之間的合理過渡、變形、轉化,是破解拋物線問題最常用的一個基本技巧方法.

(2)抓住平面幾何特征,破解解析幾何問題

解析幾何問題本質上離不開平面幾何的圖形特征,具有平面幾何的本質特征.在具體破解問題時,合理引導學生通過數(shù)形結合對圖形特征、線段數(shù)量關系、邊角位置關系等加以直觀認識,從而轉化為相應的問題(三角函數(shù)、解三角形、平面向量或平面幾何等)進行處理.在解題教學中要有意識地引導和培養(yǎng)學生,利用獨特的思維去探索數(shù)學,欣賞數(shù)學的美.

在實際數(shù)學解題教學過程中,不能只停留在解題的表面上,應適當強化解題研究,挖掘問題本質,摒棄題海戰(zhàn)術,講究教學藝術,這樣才能真正全面提升學生的解題能力、綜合能力、創(chuàng)新能力與應用能力等.