“數”與“形”巧妙融合,“動”與“靜”綜合應用
——一道立體幾何題的探究

? 蘇州市第三中學校 張 瑜

向量是銜接代數屬性與幾何圖形的一個重要紐帶,合理溝通“數”(代數)與“形”(幾何)之間的聯系,是數形結合的典范之一.而巧妙將向量知識融入到立體幾何中,動靜直觀,數形結合,是數學知識交匯、數學思維融合、數學能力綜合等方面表現突出的一個創新點,倍受命題者青睞.

1 問題呈現

本題以空間向量為問題背景,結合空間向量的長度關系與位置關系,以及數量積的絕對值的不等關系進行創設,有“動”的展示、“靜”的確定,動靜結合,數形直觀,綜合考查學生在動態變化情境中的直觀想象、空間想象能力等,以及對空間向量投影的理解,進而選擇相應的技巧與方法來分析與解決問題.

作為空間向量的綜合應用問題,可以從代數運算“數”的視角切入,結合坐標思維來處理;也可以從幾何圖形“形”的視角切入,結合數量積的幾何意義或空間圖形的幾何特征等來處理.由于視角多變,方法多樣,因此在處理過程中需要耐心、細心,以及空間想象能力與數學運算能力的綜合顯現.

2 問題破解

2.1 思維視角一:代數思維

方法1:坐標+不等式性質法.

解后反思:根據題設,合理構建空間直角坐標系,確定對應點與向量的坐標,通過向量的數量積公式建立對應的不等式,通過不等式的性質進行消參,進而確定對應的最值.合理構建空間直角坐標系,可以優化數學運算與解題過程,對問題的解決起關鍵作用.

方法2:坐標+三角換元法.

圖1

解后反思:三角換元法可以從另一個視角來確定一些相關的最值問題,解決起來更加直接有效.

方法3:空間方程法.

圖2

解后反思:利用向量數量積的幾何意義確定動點所處的空間中平面位置以及對應的平面方程,結合多條件同時成立來確定對應的參數值,進而得以確定對應的最值.空間中相關平面的確定與方程的構建,是解決問題的一大創新與亮點.

2.2 思維視角二:幾何思維

方法4:數量積的幾何意義法.

①

由向量數量積的幾何意義,可知當且僅當OP⊥平面ABC時,①式等號成立.

不妨設點O到平面ABC的距離為h.

解后反思:利用等體積法,結合三棱錐體積公式的轉化,確定等號成立時點O到平面ABC的距離,即可確定對應的最值.抓住最值成立時的條件,逆推思維,有時是解決小題(選擇題或填空題)的一種非常有效技巧與方法.

方法5:三余弦定理法.

|cos∠POC|≤|cos∠POB|≤|cos∠POA|.

解后反思:回歸空間圖形的本質,抓住空間的三余弦定理來聯系,直觀分析,有時也是解決與角有關的問題的一個很好的切入點.

3 變式拓展

探究:保留題目的創新情境與問題背景,合理改變向量的模長以及夾角等相關信息,進行巧妙的改編與應用,得到對應的變式問題.

以上變式問題利用坐標的構建與不等式性質的綜合應用來分析與處理,也可以借助其他相關的方法來解決,這里不多加以展開與應用.

4 教學啟示

4.1 向量特性,綜合應用

《中國高考評價體系說明》要求考查學生靈活運用所學知識分析與解決問題的能力.

向量貫穿高中數學的多個分支,也是銜接不同數學知識模塊最便捷有效的橋梁.向量不僅具有代數運算所對應的“數”的本質屬性而且具備幾何圖形所對應的“形”的結構特征,表達方式多樣,考查形式多元,思維視角多變,更具靈活性與綜合性.

4.2 一題多解,開拓思維

借助一題多解,特別是常規思維與“通性通法”等的應用,可以巧妙開闊思路,發散思維,使得學生學會多層面、多角度分析和解決問題,真正達到對數學原理、基礎知識與“通性通法”的認識.同時,數學思維和數學能力等方面都能得到更好的拓寬和加強,達到舉一反三、觸類旁通的目的.