坐標伸縮變換視角下的橢圓探究

? 安徽省蚌埠市第四中學 穆 穎

1 起因

蚌埠市2022屆高三年級第二次教學質量檢查考試理科卷第20題考查了橢圓問題,原試題如下:

“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動,在我國源遠流長,某些折紙活動蘊含豐富的教學內容.例如,用一張圓形紙片,按如下步驟折紙(如圖1):

圖1

步驟1:設圓心是E,在圓內異于圓心處取一點,標記為F;

步驟2:把紙片折疊,使圓周正好通過點F;

步驟3:把紙片展開,并留下一道折痕;

步驟4:不停重復步驟2和3,就能得到越來越多的折痕(如圖2).

圖2

已知這些折痕所圍成的圖形是一個橢圓.若取半徑為4的圓形紙片,設定點F到圓心E的距離為2,按上述方法折紙.

(1)以點F,E所在的直線為x軸,線段EF的中垂線為y軸,建立平面直角坐標系,求折痕所圍成的橢圓C(即圖1中M點的軌跡)的標準方程.

圖3

證明:|AQ|,|PQ|,|BQ|成等比數列.

參考答案如下:

由直線m與橢圓C相切于點P,可知

Δ=s2-4(s2-3)=0.

又s>0,所以解得s=2.

由x2-2x+1=0,解得x=1.

即|PQ|2=|AQ|·|BQ|.

故|AQ|,|PQ|,|BQ|成等比數列.

2 分析

在第(2)問的證明中,為了求出|AQ|,|PQ|,|BQ|的表達式,需要多次把直線方程和橢圓方程、直線與直線方程聯立,再使用弦長公式,運算量著實比較大.我們可否另辟蹊徑,找到一種簡捷的處理方法呢?在本題中直線PQ是橢圓C的切線,直線AB是橢圓C的割線.在研究圓時,已學習過圓的切割線定理.若把橢圓伸縮變換成圓,再借助圓的切割線定理,是不是就可以得證了呢?變換中還需要關注變換前兩點間距離與變換后兩點間距離是否成比例.

3 探究

在人教A版數學選修4-4中,學習了坐標伸縮變換,伸縮變換的常用性質主要有以下幾點:

性質2若坐標伸縮變換前直線與曲線相切(相交、相離),則坐標伸縮變換后直線與曲線依然相切(相交、相離).

性質4若坐標伸縮變換前圖形的面積為S,則坐標伸縮變換后圖形的面積S′=λμS.

4 鞏固練習

無獨有偶,在人教版數學選修4-4第38頁有如下一道例題:

如圖4所示,AB,CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦,交點為P,兩弦AB,CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1,∠2,且∠1=∠2,求證:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

圖4

課本通過設直線的參數方程并與橢圓方程聯立,借助參數t的幾何意義,推出|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,這樣需要進行大量的純字母運算.那么,可否找到一種快捷的解法呢?在本題中線段AB,CD都是橢圓C的弦.在研究圓時,已學習過圓的相交弦定理.若把橢圓伸縮變換成圓,再借助此定理,就可以得證.

圖5

由圓的相交弦定理,知|A′P′|·|B′P′|=|C′P′|·|D′P′|,故|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

5 結束語

從以上的解答中,我們或許會驚嘆:這簡直不像是解析幾何題了,幾乎沒有計算量!是的,坐標伸縮變換可將橢圓轉換為圓,而圓具有橢圓不具備的許多特殊性質,并且和圓有關的問題還可以借助初中平面幾何知識來解答,從而避免繁雜冗長的計算,提高解題效率.