兩道橢圓與圓綜合問題的拓展探究

? 甘肅省秦安縣第二中學 羅文軍

圓和橢圓都是高中數學解析幾何部分的重要知識,也是高考考查的重點內容.橢圓與圓綜合起來命制的解析幾何定值、定點和取值范圍問題,可以很好地考查數形結合思想、函數與方程思想和分類討論思想,以及著力考查數學運算、邏輯推理和直觀想象的數學核心素養,因此倍受命題專家的青睞.以下運用類比和特殊到一般的研究方法,對兩道橢圓和圓的綜合問題進行拓展探究,以期對教師命制模考試題提供參考.

1 試題呈現

圖1

(1)求橢圓E的方程.

(2)A為橢圓E的下頂點,直線AP,AQ的斜率分別記為k1,k2,且k2=4k1,求證:

①△APQ為直角三角形;

②直線PQ過定點,并求出此定點的坐標.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)當點M在圓上運動時,試探究△FPQ周長的取值范圍.

2 試題拓展

圖2

(1)∠AQP=90°;

(2)直線PQ過定點(0,b).

證明:(1)直線AP的方程為y=k1x-b(k1≠0).

所以kPQ·k2=-1,即PQ⊥AQ.

故∠AQP=90°.

(2)由(1),可得直線PQ的方程為

①

在上述方程①中,令x=0,可得

同理可證得下面命題2～4.

(1)∠AQP=90°;

(2)直線PQ過定點(0,-b).

(1)∠APQ=90°;

(2)直線PQ過定點(0,-a).

(1)∠APQ=90°;

(2)直線PQ過定點(0,a).

通過對試題2進行拓展探究,可得橢圓及其“姊妹圓”相關性質的命題5.

圖3

證明略.

3 結束語

著名數學教育家波利亞說過:“發現問題比解決問題更重要.”這句話告訴我們,要學好高中數學,就要認真審視習題,通過對習題的觀察,探索習題中蘊含的規律.本文中的解題,沒有僅停留在題目的解出上,而是通過觀察題設條件中式子的結構特征,運用類比推理和演繹推理的研究方法,順勢對試題進行拓展探究,得到了關于橢圓及其“姊妹圓”性質的五個命題,揭示了這類問題的題根,為高中生數學探究能力的培養提供了素材,為打造高品質高中數學習題課提供了案例.