提升思維能力 優化解題思路

? 江蘇省如皋市第一中學 夏 娟

笛卡兒曾說過:“我解決的每一個問題都會成為用以解決其他問題的法則.”下面筆者以一道解析幾何題拋磚引玉,說明如何幫助學生強化問題意識,積累解題經驗,提升思維能力,優化解題思路,把握數學本質.

1 試題呈現

2 解法研究

點評:整個過程思路流暢,但運算繁冗復雜,稍有不慎,前功盡棄.學生容易想到思路方法,但不易獲得最終結果,往往半途而廢者較多.數學運算作為高中數學六大核心素養之一,教師在教學過程中,不能怕浪費時間,而應有意訓練培養.

點評:特殊不能代替一般,此類方法在選填題中可作為首選,往往能達到事半功倍之效,但解答題還需結合視角1中獲得的A,B兩點的坐標來證明一般情況下也成立.

點評:圍繞所求目標,選擇直線最佳表示形式聯立方程組,緊扣題中所給條件,利用韋達定理整體代入,找到參數m與k的關系.

點評:此法有效避開了直線斜率是否存在的討論,優化了整個計算過程,較之視角3的解法,解題過程更加簡潔明了.

點評:本題的解法靈活多變,從不同視角、不同高度入手均可得到解題的思路.其中,視角1運算繁瑣,視角2要證明一般性,視角3要討論斜率存在與否,視角4不易想到“反”表示直線,視角5斜率形式難配湊.五個視角,五種解法,各有千秋.

在學習中體驗數形結合、分類討論、化歸轉化(特殊到一般)多種數學思想的交替使用,合理選擇直線的表示形式.學生在學習過程中要獨立思考、嘗試解答,重視思維訓練,強化有效運算,通過相互交流、展示解法、提煉總結,認清各種方法的優劣,掌握解決此類問題的通解通法.

3 變式探究

本題若僅限于解法的研究,則有點淺嘗輒止.波利亞曾說過:“觀察可能導致發現,觀察將揭示某種規律、模式、定理.”進一步觀察探究例題,可得到一系列變式訓練來鞏固研究成果.數學學習是理性思維,需要在已知條件和所求目標之間搭建解決問題的橋梁,而數學思想方法提供了解決問題的具體路徑.在教學中要鼓勵學生從不同的角度進行探索求知,并將所學數學知識和思想方法有效地串聯起來,分析和解決問題.

3.1 由一點引直線變為由兩點引直線

3.2 條件和結論互相置換

3.3 將由定點引直線改為過橢圓外一動點引直線

4 教學啟示

原試題將直線和橢圓有機結合,題干簡潔,構思巧妙,既考查了橢圓方程的基礎知識,又考查了區分度極高的定點、定值問題,是解析幾何中的常考題型.新課標強調“四基”,即學生通過數學課程的學習,能獲得未來發展所需要的基礎知識、技能、思想及基本生活經驗.這就要求教師在教書育人過程中立足基礎.類似第(1)問在訓練中要做到又快又準,但同時又要適應高校選拔人才的需求,因而對一些重要題型要深挖其內涵與外延.高考題源于課本但又高于課本,絕大多數題目是由課本中的典型例題或習題演繹而來.解決問題時要求學生能抽絲剝繭,識得廬山真面目.隨著“雙減”政策的普遍實施,如何在有效的時間內使教學效益最大化,是當下教師應當思考并解決的問題.筆者常年耕耘高中教學一線,發現仍有少數教師熱衷于“題海戰術”,搞得學生疲乏勞累,苦不堪言.這種“高投入、高污染、低產出”的發展模式,對學生成長產生的破壞性影響往往是不可逆的.我們要著力提倡圍繞典型例題進行教學設計和強化訓練,總結闡述深刻的數學思想方法,在理解的基礎上讓學生思維活絡起來,培養學生解決數學問題的敏銳直覺,學會分析與解決問題,而不是一味“刷題”.