構造與解題齊飛,技能共素養一色

? 安徽省淮南市第二十一中學 楊丹旸

構造法是數學學科中一個非常特殊且優美的解題方法,具有悠久的歷史.一些著名的數學家,如歐幾里得、歐拉、高斯等人,都有成功借助構造法解決一些數學難題的記載與傳說.特別地,隨著新高考改革的逐步推進與深入,利用構造法解決數學問題也成為一個創新點與亮點,在高考數學命題、自主招生以及數學競賽等中都有著非常重要的地位,倍受各方關注.

1 構造函數妙解題

例1〔2023屆鄂東南省級示范教育教學改革聯盟學校高三(上)期中數學試卷〕已知a=e-2,b=1-ln 2,c=ee-e2,則( ).

A.c>b>aB.a>b>c

C.a>c>bD.c>a>b

分析:根據題設條件,以三個代數式的大小比較為具體情境,通過分析代數式的結構特征,尋覓函數與不等式之間的結構特點與共性,進而巧妙構造與之相關的函數模型,結合函數的單調性及不等式的基本性質來分析與判斷.

解析:構造函數f(x)=ex-x,x>0,則f′(x)=ex-1>0,于是函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以f(e)>f(2),即ee-e>e2-2,亦即ee-e2>e-2,故c>a.

又f(1)>f(ln 2),即e1-1>eln 2-ln 2,亦即e-1>2-ln 2,于是e-2>1-ln 2,故a>b.

綜上分析,可得c>a>b.

故選擇答案:D.

點評:遇上指數、對數、冪函數等值的大小比較時,關鍵是尋找常數和指數、真數等的關系后,合理通過構造函數的方法來分析與解決問題,成為判定代數式的大小關系中比較常用的一種技巧方法,頻繁在解題過程中得以巧妙應用,學生應熟練掌握.尋找代數式的關系,合理構造對應的函數,結合導數法以及函數的單調性加以轉化與應用.

2 構造方程妙解題

A.8 B.9

C.10 D.其他三個選項均不對

分析:根據題設條件,結合三角代數式的變形與轉化,通過放縮消參后,合理進行整體換元處理構造相應的方程.結合常數1=sin2x+cos2x這一基本關系式進行消元處理,轉化為相關的二次方程問題,借助判別式法巧妙構建對應的不等式,利用不等式的求解來確定相應的最值問題.

依題知,以上關于sin2x的二次方程有實根,則利用判別式Δ=(t+3)2-16t≥0,整理得t2-10t+9≥0,解得t≥9,或t≤1(舍去).

故選擇答案:B.

點評:合理聯系三角關系式,巧妙放縮,結合換元處理以及方程的構造,利用判別式法將其轉化為對應的不等式問題,實現問題的轉化與應用.方程的構造對于解決參數值的求解與取值范圍的確定,以及代數式的取值范圍(或最值)等有奇效,借助方程的求根以及判別式等來綜合應用.

3 構造數列妙解題

例3(2023屆蘇錫常鎮四市高三教學情況調研數學試卷)已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,若對任意正整數n,Sn+1=-3an+1+an+3,Sn+an>(-1)na,則實數a的取值范圍是( ).

分析:根據題設條件,結合條件中數列遞推關系式的結構特征,整體化處理與思維切入,進而巧妙構造新數列,利用新數列的基本知識來分析與解決,進而綜合題設中的數列不等式的應用來轉化,得以巧妙解決參數的取值范圍問題.

解析:構造數列{bn},使得bn=Sn+an,則bn+1=Sn+1+an+1.

結合Sn+1=-3an+1+an+3,可得

Sn+1=-2an+1-(Sn+1-Sn)+an+3.

整理,可得2(Sn+1+an+1)=(Sn+an)+3,即2bn+1=bn+3,亦即2(bn+1-3)=bn-3.

故選擇答案:C.

點評:在處理一些復雜的數列問題時,巧妙構造新數列來分析,讓人耳目一新,成為解決問題的一種 “巧技妙法”.這里要依據問題中數列遞推關系式的結構特征來構造新數列,進而合理變形與轉化,實現問題的化歸,結合數列的基礎知識與相關公式合理構造,優化解題,提升效益.

4 構造圖形妙解題

例4〔福建省泉州市2023屆高中畢業班質量監測(三)數學試卷(2023年3月)·8〕已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).

分析:根據題設條件,結合平面向量的幾何內涵或對應的幾何意義,從“形”的視角切入,通過構造平面幾何圖形,利用數形結合來加以直觀想象,從幾何特征層面來研究對應的問題.

由a·b=1,a·c=-1,b·c=0,結合平面向量數量積的幾何意義,可得AB⊥OA,DC⊥DO,OB⊥OC,如圖1所示.

圖1

故選擇答案:C.

點評:本題合理構造平面幾何圖形,結合平面向量數量積的幾何意義,從射影、垂直等視角來直觀處理,利用圖形直觀,結合“動”態變化規律來解決“靜”態的最值問題.構造平面幾何圖形往往可以解決平面向量、三角函數、解三角形等相關問題,構造平面解析幾何圖形往往可以解決直線與圓、圓錐曲線等相關問題,構造立體幾何圖形往往可以解決空間幾何體等應用問題.

在實際解決數學問題時,利用構造法巧妙解題與應用沒有固定的模式與程序,往往可以從“數”的視角構造函數、方程、數列等代數模型,也可以從“形”的視角構造向量、圖形等幾何模型,不可生搬硬套.

具體解題時,關鍵是結合題設條件與所求結論之間的聯系,合理構建相應的鏈接.合理通過數學模型的構造來產生聯系,進而構建起“已知”與“所求(所證)”之間的“橋梁”,從而使得問題的解決另辟蹊徑,問題的處理水到渠成,在一定程度上有效提升數學能力,強化數學解題技能,培養數學核心素養.