函數思想在比較大小問題中的應用
——以“冪指對函數”單元為例

? 哈爾濱師范大學教師教育學院 潘 婷

新課程改革不僅對教師的學術專業能力和授課技巧有了更高層次的要求,對學生的學習能力相比以前也有了更高挑戰.在新課程改革背景下,教師不僅要傳授學生知識和技能、更要培養學生獨立思考、解決問題的能力以及嚴謹認真的思維素質,尤其在數學學科中,日常要進行大量且多種變式的數學練習,以提高學生對眾多題型的系統把握程度,這將直接影響學生的解題水平.本文中將簡述在學習了基本初等函數中的冪指對函數后,如果遇到比較大小之類的問題,該如何系統地分析與解決.

1 理論背景

1.1 函數思想

函數是描述現實世界中變量之間關系的數學語言,反映了一個事物隨著另一個事物的變化而變化的規律.函數思想是指運用運動和變化的觀點去研究和分析有關問題中的數量關系,通過建立函數模型或者構造輔助函數,運用函數的圖象和性質去分析問題、轉化問題和解決問題,是探究變量變化規律的工具;同時,函數思想也是客觀世界中事物運動變化、相互聯系、相互制約的普遍規律在數學中的反映,它的本質是變量之間的對應.學習函數的同時要更注重函數思想的滲透[1].

1.2 冪指對函數的單調性

(1)冪函數y=xα的單調性

當α>0時,冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞增;

當α<0時,冪函數y=xα在(0,+∞)上單調遞減.

(2)指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的單調性

當0

當a>1時,指數函數y=ax在(-∞,+∞)上單調遞增.

(3)對數函數y=logax(a>0,且a≠1)的單調性

當0

當a>1時,對數函數y=logax在(0,+∞)上單調遞增.

2 實踐應用

2.1 利用函數的性質

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

2.2 找中間值

2.3 利用函數的圖象

A.c

C.b

解題分析:含有未知數的等式叫做方程,但題目中的方程我們解不出來,因此可借助函數的圖象求解.畫出兩個函數的圖象,如圖1,由圖象交點橫坐標的大小,可知b

圖1

2.4 取特殊值

變式訓練3已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

解題分析:由題目可知,a是b的函數,c也是b的函數.由函數三要素中的定義域,可知b>0.

當b=1時,a=1,c=1.

當b=2時,a=log513,c=log521,即c>b>a,于是|c-a|≥|c-b|,故排除選項C,D;

此題通過賦值法,簡單快捷地比較出來了大小.由此可知,在一些形式稍為繁雜的題目中,賦值法不失為一種好方法,值得一試.

2.5 合理構造函數

A.b

C.c

圖2 函數的圖象

A.a

C.a

故選:B.

3 結論

通過對以上比較大小問題的不同變式訓練的求解可以看出,函數思想是高考考查的重要數學思想之一,所以,掌握函數思想不僅有助于幫助學生找到解題思路,提高解題效率,積累解題經驗,還能培養學生嚴謹的思維素質.因此,在鞏固學生基礎知識和基本技能的同時,更應該注重題目中出現的數學思想方法,促進學生核心素養的形成[2].