恒等式和不等式中常量與變量的轉化技巧

? 甘肅省武威市第七中學 葉軍喜

轉化的方法是高中數學解題中最基本的思想方法.數學中很多問題的解決都離不開轉化[1].例如,數形結合思想體現了“數”與“形”的相互轉化,函數與方程思想體現了函數、方程、不等式之間的相互轉化,分類討論思想體現了局部與整體之間的相互轉化,而分析法、反證法、待定系數法、構造法等是轉化的具體手段,所以說,轉化是數學思想方法的靈魂.

在高中數學中,常量與變量本來是一對矛盾體,很難相互轉化,但是,如果站在辯證的角度來看,變量反映的是一個過程,而常量就是變量在某一特定時刻的值.在這種思想指導下,也可以把常量也當作變量來看待,將其放在一個過程中研究,根據解題的需要對常量與變量的位置進行轉化,常常能收到意想不到的效果.下面通過對典型例題的解析與點撥,幫助考生熟悉并掌握常量與變量的轉化技巧.

1 總體設元法

例1化簡:cos2β+cos2(α+β)-2cosαcosβ·cos(α+β).

解析:令x=cos2β+cos2(α+β)-2cosαcosβ·cos(α+β),

y=sin2β+sin2(α+β)-2sinαsinβcos(α+β),

則有

x+y=2-2cos(α+β)cos(α-β),

①

x-y=cos 2β+cos 2(α+β)-2cos2(α+β)=cos 2β+2cos2(α+β)-1-2cos2(α+β)=cos 2β-1.

②

①+②,得2x=2-2cos(α+β)cos(α-β)+cos 2β-1=1-cos 2α-cos 2β+cos 2β=1-cos 2α=2sin2α.

所以x=sin2α.故原式化簡為sin2α.

技巧點撥:本題根據題目的特點,采取了總體設元法,構造與其相應的對偶式,運用方程的思想來解決三角恒等變形問題.當然,本題也可以采用降次、和積互化等方法來解決.

2 多元選一法

例2已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求證:

(1)abc+2>a+b+c; (2)ab+bc+ca>-1.

證明:(1)把a看成主元,b,c看成常數,構造關于x的一次函數f(x)=(bc-1)x-b-c+2,則

f(-1)=1-bc-b-c+2=4-(b+1)(c+1),

f(1)=bc-1-b-c+2=(b-1)(c-1).

由|b|<1,|c|<1,可知0

-2

所以0<(b+1)(c+1)<4,0<(b-1)(c-1)<4.

即f(-1)>0,f(1)>0.

所以f(x)在(-1,1)上恒大于0.

因為|a|<1,所以f(a)>0.

故(bc-1)a-b-c+2>0,即abc+2>a+b+c.

(2)令g(x)=(b+c)x+bc+1,則

g(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1),

g(-1)=-b-c+bc+1=(b-1)(c-1).

由|b|<1,|c|<1可推知g(-1)>0,g(1)>0.

所以g(x)在(-1,1)上恒有g(x)>0.

又|a|<1,所以g(a)>0.

故(b+c)a+bc+1>0,即ab+bc+ca>-1.

技巧點撥:本題通過靈活變更主元,利用一次函數的單調性來完成證明.由于所證不等式均含三個變量,且三個變量的范圍確定,所以采用多元選一法,將其中一個變量看作主元,構造一次函數求解.

3 變形構造函數法

(1)已知函數f(x)在x=1處取得極值,求a的值;

(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意實數a∈(0,+∞)都成立,求實數x的取值范圍.

解析:(1)求導,得f′(x)=ax2-3x+a+1.由函數f(x)在x=1處取得極值,可知f′(1)=0,即a-3+a+1=0,所以a=1.

(2)由題設,知ax2-3x+a+1>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,即(x2+2)a-x2-2x>0對任意a∈(0,+∞)都成立.

設g(a)=(x2+2)a-x2-2x(a∈R),則對任意x∈R,g(a)為單調遞增函數(a∈R),所以對任意a∈(0,+∞),g(a)>0恒成立的充要條件是g(0)≥0,即-x2-2x≥0,解得-2≤x≤0.

所以x的取值范圍是[-2,0].

技巧點撥:本題的第(1)問中,函數f(x)在x=1處取得極值,則f′(1)=0,由此列式即可求出a的值;第(2)問中,已知a∈(0,+∞)時所給不等式恒成立,因此可以將不等式變形,通過構造關于a的一次函數來求解.由此可見,對于涉及兩個變量的不等式,如果已給出其中一個變量的范圍,則可以構造一個以此變量為主元的函數,然后利用函數的單調性求解.

4 反客為主與分離常數法

例4設函數f(x)是定義在(-∞,+∞)上的增函數.

(1)如果不等式f(1-ax-x2)

(2)如果不等式f(1-ax-x2)

解析:(1)因為f(x)是定義在R上的增函數,所以f(1-ax-x2)0對于任意a∈[0,1]恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.

當x=1時,不等式g(a)>0恒成立.

當x>1時,不等式g(a)>0在a∈[0,1]上恒成立.

當x<1時,則只需g(a)=(x-1)a+x2+1在[0,1]上的最小值g(1)>0,即x2+x>0,解得x<-1或x>0,故x<-1或0

綜上所述,x<-1或x>0,即x的取值范圍為(-∞,-1)∪(0,+∞).

故x∈(-∞,-1)∪(0,+∞).

(2)因為f(x)是增函數,所以f(1-ax-x2)0對于任意x∈[0,1]恒成立.

當x=1時,不等式x2+ax+1-a>0對a∈R恒成立.

綜上,a∈(-∞,1).

所以函數h(x)的最小值為1.

故a的取值范圍為(-∞,1).

技巧點撥:本題的解題思路是利用函數的單調性,把函數值的相對大小問題轉化為自變量的大小問題,選取不同的“主元”解決問題.第(1)問采用了“反客為主”法,把a作為變量,x作為常量,降低了計算的難度和繁瑣程度,充分體現了變量與常量的對立統一辯證關系;第(2)問采用了“分離常數”法,仍然把x作為變量,把不等式恒成立問題轉化為函數的最值問題來解決,巧妙地避開了繁瑣的討論,同樣展示了化繁為簡的優越性.

從上述對解題思路與方法的點撥中可以看出,常量與變量的轉化技巧集中體現在如何“換元”上,實際上是對動態思維、靈活思路的更高要求[2].在解決多變元問題時,要學會逆向思考,換個角度,反客為主,根據需要變更“主元”,拓寬解題思路,達到簡捷解題的目的.