合理改編試題,實現問題價值的提升

? 江蘇省如東縣掘港高級中學 張必榮

問題是激發思維的火種.提出一個問題遠比回答一個問題有難度,一個有價值的問題的誕生,需要經過深思熟慮的思考[1].如何根據已有的試題,改編出更適合學生的問題?這是筆者近些年一直在探索的課題之一.實踐證明,面對一道試題,可從它的出處、背景著手,通過不同的角度去觀察與分析,進行改造與編排,亦可用變式訓練來強化學生的理解程度.

1 觀察試題背景,合理改編

當我們拿到一道新的試題時,首先要觀察題從何處來,分析試題產生的背景及其待考查的目標.一般我們從題目的條件與結論著手進行分析,根據試題條件與結論所提供的信息,發現它的出處.根據它的背景條件進行合理改編,能加深學生對基礎知識的認識,夯實基本功,為解題能力的提升奠定基礎.

觀察本題,可見這是一道解析幾何的基礎題,問題的背景為圓錐曲線與直線的位置關系.一般此類問題涉及到的知識點有距離、弦長、兩直線夾角、多邊形面積、最值、定值或軌跡等.因此,改編本題時,可以這些知識點為問題的基礎,進行適當的改造.

經改編后,本題由一道封閉的問題,變成了一道開放性問題.這給學生的思維提供了更為廣闊的空間,讓學生的思維具有更大的彈性.每個層次的學生都能在自己的認知基礎上添加適當的條件,從而獲得不同的結論.

學生在添加條件時,不僅會復習圓錐曲線與直線位置關系的相關知識,還能形成良好的提問能力.筆者在巡查時發現,也有少部分學生提出的問題具有科學性的錯誤,但在教師及時點撥下,學生通過思辨,不僅及時糾正了錯誤,還糾正了原有的認知結構,這也是促進學生個人成長的歷程.

對于例1的改編題,學生添加的條件主要有以下幾種:①直線l過原點;②直線l經過橢圓C的左頂點;③橢圓C與直線l相交于點A與點B,且|AB|=2;④弦AB的中點為M(1,1);⑤弦AB的中點在y軸上;⑥AB的三等分點為點P(1,1);⑦∠BOA為直角;⑧△ABC的面積是1.

本題經開放性條件的補充后,看起來問題難度并不大,但所蘊含的信息量卻很多,所包含的知識也比較全面.教師在此時可借力打力,鼓勵學生根據大家所添加的條件進行思考,解題過程即是對圓錐曲線與直線位置關系進行復習與建構知識體系的過程.在此過程中,不論是條件的添加,還是問題的解決,都以學生的自主探究為主,從真正意義上踐行了“以生為本”的現代數學課堂教學模式.

2 延伸試題內容,深度開發

數學是一門系統性的學科.觀察高考試題,會發現大部分試題都具有顯著的綜合性特征,往往一道題考查多方面的知識.因此,在面對一道試題時,不能以題論題,而應根據試題所呈現的內容進行前后知識的鏈接,以幫助學生更好地建構知識體系[2].編題前,應觀察原題所包含的內容,并根據原知識點延伸到與之相關的其他章節內容,進行深度開發與改變,幫助學生提高解決綜合性問題的能力.

例2如圖1,已知正四棱錐V-ABCD中,AB=2,且AB?平面α,正四棱錐圍繞著AB任意旋轉,CD平行于平面α.求正四棱錐在平面α內的投影面積的取值范圍.

圖1

根據本題所提供的信息,筆者鼓勵學生先進行小組合作學習,經討論后再改編本題.要求改編后的問題要涵蓋到其他章節的內容,所提出的問題不僅要有一定的寬度,還要具有一定的深度.

學生經討論后,提出了以下幾種改編方法:

(1)如圖2所示,假設I為棱AD的中點,H為棱BC的中點,N為線段IV的中點,M為線段HV的中點,正四棱錐V-ABCD圍繞直線NM進行旋轉的時候,點V在平面α上的射影是O,若底面ABCD的中心是V1,則|OV1|的最大值是多少?

圖2

(2)如果P為側面VAB上的動點,且點P到點V的距離與到底面ABCD的距離相等,那么點P的運動軌跡為( ).

A.是橢圓的一部分 B.是雙曲線的一部分

C.是圓的一部分 D.是拋物線的一部分

(3)如圖3所示,若長方體EFRT-E1F1R1T1內接于正四棱錐V-ABCD,求該長方體的最大值.

圖3

(4)在第(3)題的條件下,已知幾何體EFRT-E1F1R1T1是一個正方體,S為正方形E1F1R1T1及其內部的一個動點,若直線SE與底面E1F1R1T1所形成的角與直線SR和底面E1F1R1T1所構成的角互余,則點S的運動軌跡為( ).

A.一點 B.線段

C.圓的一個部分 D.兩點

以上四種改編方法,適用于綜合復習課中的教學.例2經改編后,不僅突破了單元教學內容的局限性,還延伸到了其他章節的相關內容.隨著問題的拓展、深入,學生的思維也跟著試題變得更為廣泛、深刻.這些改編方法建立在合作學習的基礎上,不僅體現了學生的自主意識,還有效地開發了學生的思維,為創新意識的形成奠定了基礎.

3 衍變試題價值,適當推廣

面對一道試題,除了要觀察其產生的背景及與其相關聯的知識,還要從問題的來龍去脈來判斷本題是否值得推廣與衍變,是否能通過改編產生新的教學價值.

例如,我們可將題目中所呈現的定量改編為變量,將定點改編為動點,將橢圓改編為雙曲線等.這種推廣方式,不僅能體現出改編的價值,還能有效地激發學生的想象能力,拓寬學生的視野,培養學生形成良好的發散思維,為核心素養的提升奠定基礎.

本題為一道基礎的線性規劃問題,所涉及到的直線y=1+x為定直線.若想讓本題變得更具價值,可以改編定直線這個條件,使它成為一條動直線,此時問題所表達的平面區域也會隨之變化.那么,在什么情況下可以使得平面區域轉化為封閉的三角形呢?

基于這個理念,學生經討論,獲得如下問題:

此問所表達的變化的量為平面區域面積,而變化的面積有可能會產生最值.觀察并研究圖形,發現平面區域存在最小值的可能,但無最大值.由此,又聯想到一個新的問題:

學生的思維容量隨著問題的逐漸深入而擴大,無需使用大量例題,即可快速提高教學效率.因此,將原題進行推廣與衍變是提升學生思維深度與廣度的良好方式,也是提高學生綜合應用能力的有效方法[3].

總而言之,合理改編試題,實現問題價值的提升,需在“以生為本”的基礎上,讓原題成為交流的媒介,通過對試題背景的觀察、知識點的延伸與推廣等方式,進行合理改編.學生在萬變不離其宗的試題中,逐漸深化對知識的理解,獲得良好的數學思想方法,為創新能力的形成與核心素養的提升奠定基礎.