知識(shí)、素材、情境,創(chuàng)新的多樣性:高考數(shù)學(xué)多選題的命制

? 廣東省大埔縣虎山中學(xué) 劉蕊蓉

隨著新課程改革的進(jìn)一步深入,新高考在試題類型方面引入了創(chuàng)新性的多選題,它是一種正確選項(xiàng)數(shù)目通常多于1個(gè)的選擇題題型,全部選對(duì)得5分,部分選對(duì)得2分,有選錯(cuò)的得0分,圍繞并體現(xiàn)“破定勢(shì),考真功,分層次”的命題理念,全面考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等,充分體現(xiàn)選拔性與區(qū)分度,有效把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)數(shù)學(xué)思考,引領(lǐng)并改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

1 知識(shí)創(chuàng)新的多樣性

數(shù)學(xué)中的相同知識(shí)模塊或不同知識(shí)模塊,以知識(shí)創(chuàng)新的多樣性為背景創(chuàng)設(shè)多選題,是高考多選題中最常見的一類命制方式.借助方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列等加以創(chuàng)新展開,從相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的不同層面、不同角度來考查知識(shí)的綜合與應(yīng)用等.

A.f(x)=f(x+π)

故選擇答案:AD.

點(diǎn)評(píng):三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題一直是多選題中的一大重要?jiǎng)?chuàng)設(shè)場(chǎng)景,可以很好地體現(xiàn)知識(shí)創(chuàng)新的多樣性,涉及三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)以及三角函數(shù)公式等眾多知識(shí)點(diǎn),又可以聯(lián)系起函數(shù)的圖象、函數(shù)的基本性質(zhì)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用等問題,是高考考查的難點(diǎn)之一,要引起高度重視.

2 素材創(chuàng)新的多樣性

數(shù)學(xué)中的不同表達(dá)方式與對(duì)象屬性,以素材創(chuàng)新的多樣性為背景創(chuàng)設(shè)高考多選題,也是高考多選題中的一類命制方式.借助一個(gè)表格、一個(gè)圖象、一個(gè)圖形、一段文字等數(shù)學(xué)素材加以創(chuàng)新展開,從素材的表面視角、深入挖掘、類比拓展等不同角度加以分析,合理融合,巧妙交匯.

例2(2023屆浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)一模試卷)如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x>y,有f2(x)≤f(y),則稱其為“好函數(shù)”,所有“好函數(shù)”f(x)形成集合Γ.下列結(jié)論正確的有( ).

A.任意f(x)∈Γ,均有f(x)≥0

B.存在f(x)∈Γ及x0∈R,使f(x0)=2 022

C.存在實(shí)數(shù)M,對(duì)于任意f(x)∈Γ,均有f(x)≤M

D.存在f(x)∈Γ,對(duì)于任意x∈R,均有f(x)≥x

解析:選項(xiàng)A中,任意f(x)∈Γ,取y>x,由于f(x)≥f2(y)≥0,因此f(x)≥0,故選項(xiàng)A正確.

令n→+∞,得f(x0-δ)=+∞,這表明δ→0,f(x)在x0處無定義,與f(x)定義在R上矛盾,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

選項(xiàng)C中,反設(shè)結(jié)論得任意M∈R,存在f(x)∈Γ,使得f(x)>M,那么取M=2 021,存在x0∈R,使得f(x)=2 022>2 021,由選項(xiàng)B中的分析知有矛盾,所以假設(shè)不成立,因此原命題為真,故選項(xiàng)C正確.

選項(xiàng)D中,若此選項(xiàng)成立,則f(x)→+∞(x→+∞),與選項(xiàng)C中的結(jié)論矛盾,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選擇答案:AC.

點(diǎn)評(píng):在創(chuàng)新定義的函數(shù)素材問題中,關(guān)鍵是借助閱讀理解能力、邏輯推理能力等建立不同數(shù)之間的有機(jī)聯(lián)系,構(gòu)建素材之間的聯(lián)系與深化,通過創(chuàng)新素材與邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算等探索解決問題的思路,實(shí)現(xiàn)對(duì)多種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

3 情境創(chuàng)新的多樣性

數(shù)學(xué)中的不同學(xué)科融合、不同數(shù)學(xué)文化背景、不同創(chuàng)新信息(概念、運(yùn)算、規(guī)則、性質(zhì)等),以情境創(chuàng)新的多樣性為背景創(chuàng)設(shè)高考多選題,是高考多選題中的一道亮麗“風(fēng)景線”,也是高考改革與創(chuàng)新的一大亮點(diǎn).借助一個(gè)創(chuàng)新定義、一個(gè)數(shù)學(xué)文化、一個(gè)學(xué)科交匯等數(shù)學(xué)情境加以創(chuàng)新展開,從情境的內(nèi)涵、實(shí)質(zhì)等層面加以分析,有效綜合,巧妙類比,實(shí)現(xiàn)提升與拓展.

例3“蘇州碼子”發(fā)源于蘇州,作為一種民間的數(shù)字符號(hào)流行一時(shí),被廣泛應(yīng)用于各種商業(yè)場(chǎng)合.“蘇州碼子”0～9的寫法依次為○、、、、、、、、、.某鐵路的里程碑所刻數(shù)代表距離始發(fā)車站的里程,如某處里程碑上刻著的“○”代表距離始發(fā)車站的里程為0 km,刻著的“○”代表距離始發(fā)車站的里程為60 km.已知每隔3 km擺放一個(gè)里程碑,A點(diǎn)處里程碑上刻著“”,B點(diǎn)處里程碑上刻著“”,則( ).

A.從始發(fā)車站到A點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為14

B.從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑個(gè)數(shù)為16

C.從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為987

D.從A點(diǎn)到B點(diǎn)的所有里程碑上所刻數(shù)之和為984

解析:由題意,可知A點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字39,B點(diǎn)處里程碑刻著數(shù)字84,里程碑上的數(shù)字成等差數(shù)列,公差為3.

故選擇答案:ABD.

點(diǎn)評(píng):解決此類基于問題情境的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,關(guān)鍵是建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,解題時(shí)需注意分析“問題中有哪些量,這些量之間的關(guān)系和規(guī)律是什么”,與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型加以聯(lián)系,借助數(shù)學(xué)模型所對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)來分析與求解,充分展示數(shù)學(xué)的創(chuàng)新性、應(yīng)用性與美感.

高考多選題這一創(chuàng)新性試題類型,是新課標(biāo)創(chuàng)新性變革的一大體現(xiàn),相比單選題而言,其信息容量更大,數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)更多,數(shù)學(xué)思想更豐富,解題思路更廣,為不同層次的學(xué)生提供了不同的發(fā)揮空間,更加精準(zhǔn)界定數(shù)學(xué)考試的選拔功能,實(shí)現(xiàn)合理分層與有效區(qū)分.