2022年高考立體幾何的命題考查與分析

? 江西省贛州市贛縣中等專業學校 蔡建華

筆者對2022年全國甲、乙卷,新高考卷以及自主命題的北京卷的立體幾何試題進行分析,發現2022年高考中立體幾何部分的試題更加關注場景設計與設問技巧,合理倡導回歸教材、教學銜接與教學指導,為進一步落實數學核心素養與教學改革指明方向.

1 緊扣教材,引導教學回歸

例1(2022年高考數學全國甲卷理科·15)從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為______.

分析:根據題意,由組合數公式計算“從正方體的8個頂點中任選4個”的取法種數,特別關注其中“4個點在同一個平面”的情況,由古典概型公式計算可得答案.

記A=“這4個點在同一個平面”,則A包含底面2種和側面4種、對角面6種,一共12種情況.

點評:試題以古典概型的求解來創新設置,而實際考查的是正方體的幾何性質與圖形結構特征,利用正方體中點、線、面等相關元素的位置關系進行直觀分析,結合合理的計數問題來解決,實現知識的交匯,強化數學思維的開拓與應用.而問題考查的實質還是正方體、長方體、圓柱、球等這些基本空間幾何體的結構特征以及對應的幾何性質,要求學生對這些基本圖形、基本性質、結構特征等“爛熟于心”,并會加以直觀想象與實際應用.

2 依托基本圖形,落實“四基”“四能”

例2(2022年高考數學新高考Ⅰ卷·9)(多選題)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( ).

A.直線BC1與DA1所成的角為90°

B.直線BC1與CA1所成的角為90°

C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°

D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°

分析:根據題意,以基本的正方體為圖形背景,通過正方體的幾何性質,結合線線垂直、線面垂直的性質與判定等判斷選項A,B;結合直線與平面所成角的概念與性質來分析并判斷選項C,D.

解析:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為BC1⊥B1C,BC1⊥A1B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,于是BC1⊥DA1,BC1⊥CA1,故選項A,B正確.

而直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°,故選項D正確.

綜上分析,故選擇答案:ABD.

點評:試題命制意圖在于依托正方體這一基本圖形,借助異面直線所成的角、直線與平面所成的角等概念與性質的應用,考查基礎知識與基本能力.此類依托基本圖形的立體幾何問題,借助基本概念與基礎知識的考查與應用,注重通性通法,淡化特殊解題技巧,全面落實數學的“四基”與“四能”,也為高中數學教學與改革指明方向.

3 注重幾何聯系,凸顯幾何直觀

例3(2022年高考數學北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長均為6,S是△ABC及其內部的點構成的集合.設集合T={Q∈S|PQ≤5},則T表示的區域的面積為( ).

分析:根據題設條件,設點P在底面ABC內的投影為點O,根據正三角形的性質求得OA的長,并結合勾股定理求得OP的長,結合幾何直觀,進而知動點Q表示的區域是以O為圓心,1為半徑的圓及其內部,從而得以分析與求解.

解析:如圖1,設點P在底面ABC內的射影為點O.

圖1

所以動點Q的軌跡是底面ABC內以O為圓心,半徑為1的圓及其內部區域,則其對應的面積為πr2=π.

故選擇答案:B.

點評:試題命制意圖在于從一些基本、熟悉、關聯或類比的創新情境中,借助數學的眼光,以數學視角來切入,構建對應的數學模型,尋找相應的研究對象與目標元素,發現數量或圖形的性質、數量關系或圖形關系等,探索解題的途徑與方法.此題結合集合語言考查學生的空間想象能力及轉化劃歸思想,引導教學要從立足學生核心素養出發,從基礎“有圖用圖”上升到“無圖想圖”,突出立體幾何的直觀想象能力,以及立體幾何中“觀察、判斷、計算、證明”的基本解題途徑與基本步驟.

4 關注素養考查,強調能力立意

例4(2022年高考數學全國乙卷理科·9)已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上,則當該四棱錐的體積最大時,其高為( ).

分析:根據題意分析,當四棱錐為正四棱錐時其體積最大.設出四棱錐底面邊長,結合勾股定理的應用確定棱錐的高并得出棱錐體積的表達式,利用均值不等式來確定對應的最值,進而求解體積取最值時對應的參數值.

于是,該四棱錐的體積

故選擇答案:C.

點評:該題為球內四棱錐體積的最大值問題,考查直觀想象與邏輯推理等核心素養,要求學生有較強的空間想象能力和分析問題的能力,將問題轉化為三次函數的最值問題,可以利用均值不等式來處理,也可以通過函數的構建,利用導數來求解.

總體上來看,通過對全國甲、乙卷,新高考卷以及自主命題的北京卷等相關試卷的命題分析,發現2022年高考立體幾何試題的命制繼續遵循《中國高考評價體系》,貫徹高考改革與創新,立足“立德樹人”,彰顯其特殊的育人價值.2022年高考試題中立體幾何部分的考查穩中有變,變中有新,更加突出空間想象能力與直觀想象素養,同時關注邏輯推理與數學運算,更加關注數學素養與數學品質,以及數學關鍵能力等各方面的綜合與考查.