幾個重要不等式在不等式證明中的應用

? 安徽省界首中學 郭西鋒

不等式證明在高考全國卷中是必考題型,題目難度中等,解答此類問題,只要掌握常見題型的處理方法及求解策略,便不難得分.本文中就此類問題所涉及的解題方法及解題工具進行梳理,并舉例分析.

1 題型特征

在高考中關于不等式證明選講內容的命題類型大多為二元或三元不等式的證明,其中各元均為正數,且給出二元或三元滿足的某些條件,證明所給不等式成立.已知或所證關系式中常常含有根式、一次式、二次式或三次式,從結構來看往往具有對稱關系.

2 方法策略

解題中所涉及的證明方法主要有:分析法,綜合法、反證法等.這些是我們常用的證明方法,具體不再贅述.

常用的工具主要有:均值不等式、柯西不等式、絕對值三角不等式、權方和不等式等.另外,在某些競賽題目中還會涉及排序不等式、琴生不等式等.

3 工具應用

3.1 均值不等式

點評:本題已知條件是有關三個元和的形式,所證的關系式中含有積的形式,因此不難想到利用均值不等式進行轉化證明.在高中階段,不等式證明中應用較多的是二元和三元均值不等式.對于不滿足均值不等式條件的證明問題,可先構造再應用,構造的方式主要有“添項”“拆項”等.

3.2 柯西不等式

例2已知x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;

解析:(1)由x+y+z=1,結合三元柯西不等式,可以得到3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2]=(12+12+12)[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2]≥[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=4.

點評:柯西不等式是處理不等式證明問題的常用工具,對于不具備應用條件的不等式,可通過拆項、結構變形、引入數組等進行構造,如本題中兩次應用柯西不等式,均利用了3=12+12+12進行構造.

3.3 權方和不等式

例3(2022年高考數學全國甲卷)已知正實數a,b,c滿足a2+b2+4c2=3,求證:

(1)a+b+2c≤3;

點評:本題的證明綜合使用了柯西不等式與權方和不等式,應用中要準確把握題目所給及所證關系式的結構特征,準確構造相應的不等式來求解.

3.4 絕對值三角不等式

絕對值三角不等式:|a|+|b|≥|a+b|,其中a,b為實數,等號成立的條件是ab≥0.將上式中的b換為-b,則有|a|+|b|≥|a-b|,等號成立的條件是ab≤0.將兩式綜合,可得||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,a,b為實數.

由絕對值三角不等式,得|3a+3b|+|2a-2b|≥|(3a+3b)+(2a-2b)|=|5a+b|,所以|5a+b|≤1.

點評:與絕對值有關的不等式恒成立或證明問題,通?？山柚^對值三角不等式實現不等式的證明.

總之,只要我們能夠掌握這些重要不等式的應用條件及其相應的變形、構造技巧,并結合所證式子的結構特征,即可靈活處理二元或多元不等式的證明問題.