讓思考成為數學運算的助推器

? 福建省莆田第四中學 林 琴

隨著新高考改革步伐的不斷邁進,高考更加注重對學生各方面能力的考查與區分,突出核心素養的關鍵能力.其中,對學生數學運算能力的要求就提到了一個更高的層面,因而提高高中生數學運算能力是一個亟待解決的數學問題.鑒于此,下面結合實例來具體闡述如何處理數學運算問題,讓思考成為數學運算的助推器.

1 法則應用的合理性

解決問題中的數學運算過程,就是一個數學法則應用的過程.厘清數學問題的實質與內涵,結合相關問題中所涉及到的概念、定義、公式、定理以及性質等本質,通過數學運算法則的應用,建立聯系,直擊要害,達到運算法則應用的合理性.

例1(2022年高考數學上海卷·11)若|a|=|b|=|c|=λ,且滿足a·b=0,a·c=2,b·c=1,則λ=______.

分析:根據題設條件,確定平面向量的位置關系并構建相應的平面直角坐標系,合理應用平面向量中的相關運算法則,利用平面向量的坐標表示與設置,結合平面向量的模、數量積的坐標公式等構建相應的方程組,即可確定參數的值.

解析:由a·b=0,可得a⊥b.

構建平面直角坐標系,設向量a=(λ,0),b=(0,λ),c=(x,y),x,y∈R,則有x2+y2=λ2,其中λ>0.

點評:在解決平面向量問題時,經常應用定義法、坐標法與幾何法這幾種常見的方法來解決.這里,在解決平面向量問題中,借助平面直角坐標系的構建,利用坐標法的代數運算來分析與處理平面向量中的相關問題,是一種更加合理的數學運算法則的應用.借助坐標法,化“形”為“數”,代數運算處理.

2 簡便運算的靈活性

結合數學問題中涉及到的基本性質、整體思維、重要結論等,合理構建與問題對應的數學模型或數學關系等,簡化運算,全面提升數學運算與數學思維的靈活性,明確運算目標,構建相應的聯系,優化解題過程,提升解題效益.

分析:根據題設條件,結合直線與x軸,y軸分別交于兩點,利用直線截距式方程的設置,引入對應的參數與方程,結合直線方程的特征,可以快捷簡便地確定直線與坐標軸的對應交點問題,方便問題的進一步分析與求解;進而結合橢圓的中點弦性質,為簡便運算提供更加靈活與便利的條件.

點評:根據題設條件設置合適的直線方程,是簡單快捷處理直線與圓錐曲線位置關系問題中的一個重點,也是靈活運算的基礎.而熟練掌握圓錐曲線中的一些“二級結論”(本題中用到圓錐曲線的中點弦性質),在破解小題時可以更加靈活便捷,優化數學運算,簡化解題過程,提升解題效益,節約寶貴時間.

3 公式選擇的有效性

在數學運算前需合理選擇公式,同時要根據題目意圖進行思考,以目標引領思維,特別涉及到有多種公式可供選擇時(主要是三角函數問題、數列問題等),要洞察已知條件與所求結論之間的有效聯系,合理數學思維與推理,進行有效性的公式選擇,達到“一箭封喉”,真正提升數學運算的準確性.

A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1

分析:根據題設條件,從眾多的三角恒等變換公式中進行有效性的公式選擇,結合三角函數關系式的結構特征,先利用兩角和與差的三角函數公式加以展開,使得復雜角轉化為簡單角,再綜合變形所得的三角函數關系式,“逆向”利用兩角和與差的三角函數公式進行轉化,最后進行三角函數式的變形與求值.

于是sinαcosβ-cosαsinβ=-cosαcosβ-sinαsinβ,即sin (α-β)=-cos (α-β).

所以tan(α-β)=-1.故選擇答案:D.

點評:根據題設條件與結論中相應的三角函數關系式等信息,正確利用兩角和與差的三角函數公式在復雜角與簡單角之間進行“正向”與“逆向”變形處理,有效選取三角函數公式,以最有效、最簡便的方式,構建題設條件與結論之間的聯系,從而實現問題的分析與解決.

4 路徑選取的高效性

數學運算的路徑是多樣性的,合理的積極思考,可以使得運算路徑更加高效、更加直接,進而借助數學運算以及邏輯推理等的綜合應用,提高數學運算的效率.

例4(2022年高考數學新高考Ⅱ卷·12)(多選題)對任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析:根據題設條件,將條件中的二元方程加以配方處理,轉化為兩代數式的平方和為1的形式,引入參數進行三角換元,進而選取高效的數學運算路徑,結合對應的參數將x+y,x2+y2表示為三角函數關系式,進行恒等變形與處理,利用三角函數的圖象與性質來確定對應的取值范圍,進而結合選項來分析與判斷.

解析:由x2+y2-xy=1,配方可得

故選擇答案:BC.

點評:在破解一些涉及代數式或參數的取值范圍或最值,以及不等式成立等相關問題時,經常利用三角換元法,將目標代數式或參數轉化為三角函數的形式,借助三角函數的圖象與性質來處理,是解決此類問題中比較高效的一種數學運算路徑的選取.

在數學教學與學習過程中,完善與提升數學運算能力是一個漸近與螺旋上升的過程.在此過程中,還要不斷強化一些其他方面的能力,如敏銳的觀察力、整體思維能力、化繁為簡的轉化能力以及解題全過程的統籌安排能力等,合理調配,不斷優化,真正讓思考融入到數學運算中去,不斷通過思考優化數學運算,通過數學運算促進思考,形成良性循環.讓數學運算根植于思考的土壤,借助思考的“翅膀”提升數學運算能力,尋找快樂源泉,讓運算過程開出絢麗的思維之花.