立足探究教學(xué),滲透核心素養(yǎng)
——以“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”課堂教學(xué)為例

? 南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 徐秋華

蔡金法等[1]在《做探究型教師》一書的緒論中明確提出:教師作為研究者,首先要思考的根本問題是“我們究竟要培養(yǎng)什么樣的人”.在傳統(tǒng)課堂教學(xué)中,教師“滿堂灌”現(xiàn)象極為普遍,多數(shù)學(xué)生缺乏獨立思考、自我探究以及勇于創(chuàng)新的能力.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,開啟探究式課堂,培養(yǎng)學(xué)生思維的獨立性、深刻性與靈活性是新一代課堂的教學(xué)目標(biāo)[2].

探究型課堂的設(shè)計理念是以問題鏈為驅(qū)動力,重視知識的建構(gòu)過程.課堂采用教師講授與學(xué)生探究相結(jié)合的教學(xué)方式,讓學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、探究、釋疑的學(xué)習(xí)過程;體驗數(shù)學(xué)活動中的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造,經(jīng)歷從感性到理性的認(rèn)知過程.正所謂“生”動的課堂才會更生動.下面以筆者執(zhí)教的公開課“雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”(人教A版選擇性必修第一冊)為例,談一下自己的做法和幾點不成熟的想法,以就正于方家.

1 創(chuàng)設(shè)情境,實驗感知,獲得概念

情境一:播放七彩燈光下的廣州電視塔、工作中的冷卻塔、艾洛依休斯教堂等動態(tài)圖片.引導(dǎo)學(xué)生欣賞圖片的同時,提出問題:這些建筑中蘊藏著什么幾何圖形?

學(xué)生:雙曲線.

數(shù)學(xué)源于生活,用于生活.讓學(xué)生直觀感受數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

情境二:(課前折紙小實驗)按要求折疊紙張,在紙上先確定兩個定點F1,F2,以F1為圓心,小于F1F2的長為半徑作一個圓,在圓上任取一點P1,通過折疊,使P1與F2重合,并畫出折痕l1(如圖1),然后作出半徑F1P1所在直線并沿著該直線折疊,該折痕與l1相交于點M1;隨后依次確定點M2,M3,M4,……,由此發(fā)現(xiàn)折痕與l1的交點逐步形成了兩條對稱的曲線(如圖2).

圖1

圖2

通過小組探究、討論,類比橢圓的定義,得出雙曲線的概念:把平面內(nèi)與兩定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(非零常數(shù)小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.(動畫演示曲線形成過程.)

設(shè)計意圖:通過兩種不同的方式引入課題.首先從生活情境引入,美麗的建筑讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)美;其次從數(shù)學(xué)問題引入,通過折紙活動,確定雙曲線的具體形態(tài)及其基本構(gòu)成條件.折紙使課堂氣氛變得活躍,激發(fā)了學(xué)生探究新知的積極性.

2 深度探究,體驗概念生成過程,培養(yǎng)抽象概括能力

師:下面我們對雙曲線的定義進行辨析.

追問1:類比橢圓,雙曲線的定義中有哪些關(guān)鍵詞?

生:關(guān)鍵詞有“絕對值”“非零”“小于|F1F2|”.

師:很好!

追問2:如果分別去掉或改變這幾個關(guān)鍵詞,曲線會發(fā)生怎樣的變化?

情形一:如果去掉“絕對值”,曲線會發(fā)生怎樣的變化?

師生共同研究,根據(jù)剛才的動畫演示發(fā)現(xiàn),如果去掉“絕對值”,軌跡應(yīng)該是雙曲線的一支.那么,到底是哪一支呢?

學(xué)生歸納并展示所得結(jié)論:如果|MF1|-|MF2|是一個負(fù)常數(shù),那么點M的軌跡是雙曲線的左支;如果|MF1|-|MF2|是一個正常數(shù),那么點M的軌跡是雙曲線的右支.

情形二:如果將“小于”改為“等于”呢?

生:若點M在直線F1F2的外側(cè),則點M,F1構(gòu)成三角形.根據(jù)三角形的性質(zhì),兩邊之差小于第三邊,即||MF1|-|MF2||

師:非常好!分析問題要從多角度入手,才能看透本質(zhì).

情形三:如果將“小于”改為“大于”呢?

生:(激烈討論,班級氣氛活躍)若點M在直線F1F2的外側(cè),則點M,F1與F2構(gòu)成三角形,根據(jù)三角形的性質(zhì),兩邊之差小于第三邊,即||MF1|-|MF2||<|F1F2|,不成立;若點M在線段F1F2的延長線或反向延長線上,則||MF1|-|MF2||=|F1F2|,也不成立;若點M在線段F1F2上,||MF1|-|MF2||不是定值,不成立.所以軌跡不存在.(全班鼓掌)

師:很棒的總結(jié).請同學(xué)們繼續(xù)思考.

情形四:如果去掉“非零”兩個字,那么曲線會發(fā)生怎樣的變化呢?

生:當(dāng)|MF1|-|MF2|=0時,根據(jù)中垂線的性質(zhì)可知,中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等,此時軌跡是線段F1F2的垂直平分線.

師:通過對上述四種情形的深入探究,我們對雙曲線的定義進行了辨析,可知雙曲線定義中那些關(guān)鍵詞的重要性,大家一定要細細體會.

設(shè)計意圖:通過小組探究學(xué)習(xí),深挖雙曲線概念形成的基本構(gòu)成條件,有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),細致嚴(yán)密的分析過程有助于提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).

3 類比探究,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)邏輯推理及數(shù)學(xué)運算能力

師:能否對照橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法,推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?

生:我們可以按照建立平面直角坐標(biāo)系—設(shè)出各點的坐標(biāo)—列出方程式—化簡等式這四個步驟展開.

師:如何建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系呢?(學(xué)生借助學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗展開討論.)

類比橢圓,以直線F1F2為x軸,以F1F2的中點O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系.(如圖3)

圖3

師:如何寫出曲線上滿足條件的點M的集合?

師:要將雙曲線的定義代數(shù)化,不妨設(shè)這個常數(shù)為2a,利用定義,曲線上的點M滿足的集合為{M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},那么集合中的等式如何用坐標(biāo)來表示呢?

師:很好,處理問題自信又果斷!兩邊平方是處理根號問題的常用辦法.解決這類問題不能有畏難心理,需要膽大心細.下面請同學(xué)們在本子上寫出自己的化簡過程.(教師巡視并適當(dāng)點撥.)

師:思路清晰,運算準(zhǔn)確,此處應(yīng)該有掌聲.大家發(fā)現(xiàn)這個式子是沒有辦法繼續(xù)化簡的,類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),如何化簡使得方程更加美觀?

圖4

設(shè)計意圖:學(xué)生通過類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),克服運算過程中的畏難心理,探究并完成了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo),達成了知識的遷移,通過運算的相似性,化被動為主動,提高對復(fù)雜數(shù)據(jù)處理的能力,提升運算素養(yǎng).

4 知識應(yīng)用,嘗試構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

例1已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(-10,0),F2(10,0),雙曲線上一點P與F1,F2兩點的距離之差的絕對值等于16,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

生:找出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個基本量,即2c=20,2a=16,計算出b=6,代入相應(yīng)方程即可.(教師詳細板書.)

例2已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s,聲速為340 m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.

生:先判斷軌跡的形狀.由A,B兩地聽到爆炸聲的時間差及聲速,得出A,B兩地與爆炸點的距離差是定值.所以爆炸點在以A,B為焦點的雙曲線上,且爆炸點離A處比離B處遠,所以爆炸點在靠近B處的雙曲線的一支上.(教師詳細板書.)

設(shè)計意圖:例題來自教材,具有鮮明的基礎(chǔ)性、典型性和導(dǎo)向性,深入探究課本中的題目,在夯實基礎(chǔ)的同時,充分挖掘題目所蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法,提升數(shù)學(xué)抽象思維,滲透數(shù)學(xué)建模能力,從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

反思探索是教學(xué)的生命線.本堂課通過設(shè)計折紙游戲環(huán)節(jié),引入探究性問題,明確探究教學(xué)的任務(wù)要求.圍繞“雙曲線軌跡的發(fā)現(xiàn)—雙曲線定義的深度剖析—雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立—實際數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用”展開,通過具體的折紙實驗,直觀感知雙曲線的軌跡;通過對問題的分析,抽象出雙曲線的定義,體現(xiàn)具體到抽象的數(shù)學(xué)思想.在整個教學(xué)中,筆者設(shè)計的問題鏈一步步地引導(dǎo)學(xué)生展開對雙曲線定義和方程的探究,在此過程中,筆者不做過多干預(yù),只適時點撥,鋪設(shè)探究通道,引導(dǎo)學(xué)生朝著正確的方向思考.學(xué)生對新知的認(rèn)識是一次從“惑”到“識”、從“無”到“有”的自然生長過程[3].

“教是為了不教”.教學(xué)中要從大處著眼,小處著手,充分發(fā)揮學(xué)生的課堂主體地位,讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程,從而深化數(shù)學(xué)思想,積累基本方法和基本經(jīng)驗.在課堂教學(xué)中,教師要不斷強化探究意識,讓學(xué)生能夠在潛移默化中建立數(shù)學(xué)眼光與抽象認(rèn)知,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).