核心素養導向下的問題驅動式教學
——以“兩角差的余弦公式”為例

? 湖北大學數學與統計學學院 趙 薇 徐運閣

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》提出高中數學的課程目標之一就是發展學生的核心素養,學者章建躍也提出“教好數學就是落實核心素養”.那么,六大核心素養怎樣才能落地生根?什么樣態的知識教學有利于學科核心素養的發展?學者李松林認為問題驅動的整合式教學有利于學生核心素養的發展,并提出學習即持續的自主建構,學生的學習及核心素養的發展最終依靠的都是學生本身的內源性學習力.因此,教師需要做的就是通過自己精心設計的教學來驅動學生的內源性學習力,無疑問題驅動式教學就是有效的教學模式之一.

1 教材分析

三角恒等變換是高一學生需要掌握的重點內容,兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一節的基礎和出發點,也是前面所學三角函數知識的繼續與發展.由于和與差內在的聯系性與統一性,教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎,使公式的證明過程盡量簡潔明了,易于學生理解和掌握.教材沒有直接給出兩角差的余弦公式,因此可以利用問題驅動學生結合本章已學的知識與方法進行自主探究,引導學生大膽猜想、小心求證,鼓勵學生發散思維、創新方法.

2 教學目標

(1)掌握兩角差的余弦公式,能正確運用公式進行簡單的求值運算;

(2)經歷用平面直角坐標系、單位圓、兩點間的距離公式推導兩角差的余弦公式的過程,進一步體會平面直角坐標系和單位圓對于三角函數的重要作用;

(3)在探究過程中,體會“轉化與化歸”“分類討論”“數形結合”等數學思想方法,體會數學思維的合理性與條理性.

3 教學過程

3.1 課程引入,提出問題

問題1某城市電視發射塔建在市郊的一座小山上(如圖1),沿著山坡有一條坡度為15°,長為200 m的小路可以從山底直達塔底,在小路最底端測得電視信號發射塔塔尖的仰角為60°,求塔尖到地面的距離.

圖1 現實情境

圖2 數學模型

追問1:cos 15°=?

追問2:cos 15°=cos(60°-45°)=?

追問3:更一般地,對于任意角α,β,cos(α-β)=?

設計意圖:從實際問題出發,有利于強調數學與實際的聯系,使學生感受到研究差角公式的必要性,讓學生經歷將現實情境抽象成數學問題的過程,有利于培養數學抽象素養.強調用已知角表示未知角,讓學生體會將未知轉化為已知的轉化與化歸思想.

3.2 聯系舊知,形成猜想

問題2同學們之前見過哪些兩角差的余弦呢?

追問1:觀察這6個式子的結果,有什么發現嗎?

師生活動:學生回答,教師總結.這6個式子的結果涉及到cosβ,sinβ,cosα,sinα這4個三角函數值,于是猜想cos(α-β)與cosβ,sinβ,cosα,sinα有關!

追問2:cos(α-β),cosβ,sinβ,cosα,sinα的數學意義是什么?

師生活動:引導學生根據三角函數的定義回答.當角的始邊與x軸的非負半軸重合時,cosα與sinα;cosβ與sinβ分別是角α,β的終邊與單位圓交點的橫、縱坐標;cos(α-β)是角α-β的終邊與單位圓交點的橫坐標.

設計意圖:該環節體現了從特殊到一般的思想,聯系以前學過的誘導公式,讓學生經歷探究發現的過程,而不是直接告訴學生結論.最后引導學生從最本質的定義出發說出各三角函數值的數學意義,也意在提示學生要注重對數學定義的理解和記憶.

3.3 探究發現,得出結論

利用平面直角坐標系、單位圓,結合兩點之間的距離公式,推導兩角差的余弦公式.

師生活動:學生動手操作,將上述數學符號在圖中表示出來.有學生將角α,β的終邊畫在了一起(預設),此時α=β+2kπ(k∈Z),對應cos(α-β)=1.接著探究一般情況,假設α,β的終邊不重合,也就是α≠β+2kπ(k∈Z),提示學生不必糾結角α,β終邊的位置問題,因為cos(α-β)=cos(β-α),為了研究方便這里將角α的終邊畫在角β終邊的上方,就可得到角α,β的終邊與單位圓交點的坐標分別為P1(cosα,sinα),A1(cosβ,sinβ).

問題3角α-β的始邊、終邊分別是什么?

師生活動:有學生提出∠A1OP1就是α-β(預設).教師提示,根據角的減法,角α-β的始邊就是角β的終邊,角α-β的終邊就是角α的終邊,則α-β=∠A1OP1+2kπ(k∈Z),但此時∠A1OP1沒有在標準位置上,也就是始邊沒有與x軸的非負半軸重合,無法得到cos(α-β),所以將角α-β的始邊、終邊一起旋轉,使其始邊與x軸的非負半軸重合,則角α-β的終邊與單位圓交點P的坐標為(cos(α-β),sin(α-β)),令單位圓與x軸正半軸的交點為A(1,0).

問題4觀察圖3,并聯系剛才得到的點的坐標,可以得到什么等量關系?

圖3

追問:到此我們的探究過程就結束了嗎?

師生活動:教師指出上述結果是在α≠β+2kπ(k∈Z)的前提下得到的,還需驗證α=β+2kπ(k∈Z)時等式是否成立.經驗證,特殊情況下等式依然成立.因此,當α,β為任意角時,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

設計意圖:在該環節,引導學生分類討論,體現數學證明的嚴謹性.同時,讓學生知道平面直角坐標系和單位圓在解決三角函數問題中的重要作用,而且證明過程環環相扣,體現了數學的邏輯性,有利于培養邏輯推理核心素養.

3.4 牛刀小試,加深理解

問題5利用兩角差的余弦公式求cos 15°的值.

引導學生通過15°=60°-45°和15°=45°-30°兩種方式求解,具體過程如圖4.

圖4 該題對應的教學PPT(截取)

設計意圖:幫助學生掌握兩角差的余弦公式的應用,拓展數學思維,體會角拆分的多樣性決定了變換的多樣性,但是最后都殊途同歸.

追問:現在能解決“求電視信號發射塔塔尖到地面的距離”問題嗎?

師生活動:學生計算,教師播放PPT展示答案.

3.5 深入思考,更新認知

問題6問題5中分別令α,β為特殊值來求得cos 15°的值,能否令α,β為其他形式,從而得到一些公式?

師生活動:教師提示,若令β=-β,則可以得到cos[α-(-β)]=cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,這個公式叫做兩角和的余弦公式;還可以令β=-α,則可以得到cos[α-(-α)]=cos 2α=cos2α-sin2α,這個公式是二倍角的余弦公式.給出課后思考題——利用今天所學的兩角差的余弦公式推導剩下的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式.

設計意圖:幫助學生理解α,β的任意性,同時理解公式不僅能正用、逆用,還能變形用.

3.6 課堂小結,鞏固知識

問題7本節課你學到了哪些知識?

(1)兩角差的余弦公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

(2)體會到了平面直角坐標系、單位圓在解決三角函數問題中的便利性.

(3)解決數學問題的一些思想和方法:轉化與化歸、由特殊到一般、分類討論、數形結合.

4 教學反思

4.1 反思學生

學生雖有一定的認知基礎,但在單位圓中證明兩角差的余弦公式,容易犯思維不嚴密的錯誤.教學時,需要引導學生正確表述終邊與單位圓的各個交點,找到正確的等量關系,再結合兩點間距離公式計算差角終邊與單位圓交點間的距離并化簡.

4.2 反思教學

本節課的主要流程為“創設問題情境—抽象數學問題—形成猜想—驗證猜想—得出結論—解決問題—深化結論”,以問題鏈的形式驅動學生思考,以問題情境和學生的舊知(誘導公式)為出發點,利用研究三角函數的常用工具——平面直角坐標系和單位圓,不斷探究,自然“生長”出新的知識點——兩角差的余弦公式,然后回歸到最開始的問題情境解決問題,最后深化主題,將公式的變形應用留作課后思考題,引發學生的進一步思考.整個教學過程讓學生發現問題、分析問題、解決問題,其間滲透了數學思想方法,培養了學生數學抽象、邏輯推理、數學運算核心素養.