提升高中學生數學運算能力的實踐探究*

? 廣州市第五中學 邢 燕

1 高中數學教與學中常見的運算問題

1.1 學生學習各類運算方法時常見的問題

一些學生在數學學習中對運算不夠重視,平時學習和練習中只強化思路訓練,不重視運算訓練,認為算錯只是大意,只要注意就能避免,殊不知運算也是講技巧和方法的,正確的運算方法可以幫助你算得又快又準,錯誤的運算會導致你總是掉坑.一些學生在數學學習中對運算不夠認真,出現看錯數、算錯數、計算不嚴謹等現象,導致最終答案錯誤.這樣的運算錯誤大部分學生是歸為粗心,自認為這題我會,只是不小心算錯而已,下次小心就可以了.但事實上,數學運算是數學學科的核心素養之一,數學的學習就是要培養學生認真細致的做事態度,避免“差之毫厘,謬以千里”.

1.2 教師教學各類運算方法時常見的問題

首先,有些教師在教學過程中比較重視概念、定義等知識點的教學,強調通過概念、定義掌握問題的本質,常忽略了概念、定義的掌握也需要練習來強化.而數學練習中大多需要運算,只有運算正確才能得到正確答案.其次,教師在教學中往往會重視提問的設計,分析解題思路,但會忽略解題過程中的運算方法和運算步驟的總結與歸納.最后,教師在教學中雖然強調了正確的運算過程,但忽略了對學生易錯點的分析,導致學生總是會而不對,不能通過練習獲得成就感,從而對數學產生厭倦心理,對數學學習失去興趣.

2 提升高中學生數學運算能力的策略

2.1 理解概念,夯實運算根基

利用新授課幫助學生理解不同的運算有不同的法則,但又有相通的體系.高中階段常用的數學運算有整式、分式、根式的運算,指對數的運算,復數、向量的運算,集合運算,三角恒等變形,立體幾何體積、表面積、角和距離的運算,排列組合與概率統計的運算,導數與函數、數列的運算,等等.可以說,數學學習離不開運算,但運算前一定要深入理解知識的來龍去脈,熟練掌握概念、定理、公式.教師要引導學生將新學的概念與舊知識進行比較,以加深理解,并鞏固復習.只有正確理解概念,在運算中才能注意到平方會增根、約分會漏解、對數函數要注意定義域等這些細節,才能在運算中保持恒等變換.所謂運算的基本知識和方法,就是明確每種運算所適用的對象和范圍,理解這種運算的數形關系,熟悉其逆用、變式及推廣.在教學中,教師要給出針對性的訓練,以加深學生對概念的理解.例如,“三角函數恒等變換”中“二倍角公式”這一節的新課教學,推導出公式,簡單直接運用后,就需要進行公式的逆用、變形訓練.

例1求下列各式的值:

(4)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

教師可根據基本概念、基本公式設計一些題目變式,以問題串形式給出,激發學生的思維和興趣,鼓勵他們解決復雜問題提升數學運算能力.這樣可以加深學生對公式的理解記憶,熟悉公式的不同形式,更好地運用二倍角公式解決有關倍角、半角的問題,提高運算的正確率.

2.2 優化方法,明確運算方向

教師在教學中要展示不同的解題方法,讓學生體會不同方法的運算差異.對運算過程中受挫的學生,教師應及時幫助他們發現和糾正錯誤,鼓勵并指導他們反思總結,改進方法,明確運算方向.同時,為學生提供多樣化的訓練,包括不同難度和題型的題目,以幫助學生熟悉各種類型的數學運算,培養他們的運算能力.例如,求解圓錐曲線中的最值問題,不僅需要運算的基本功,還需要選擇合適的方法,才能簡化運算,正確求解.

圖1

不同背景的題目往往幾個方法都可以解決問題,但不同方法解決問題的難度是不同的,有些簡單直接,有些則比較繁瑣,這就需要優化解題策略,選擇合適的運算方法.總之,在教學中要教會學生明確運算方向,選擇合適的方法,促進運算能力的提高.

2.3 養成習慣,熟用運算方法

教學中可利用專項訓練提高學生的運算能力,促使學生熟練掌握運算方法,養成習慣.專項訓練也稱為題組訓練,該訓練不是盲目的,而是有目的、有計劃地進行各個運算專題的訓練.明確的目標可以有效引導學生的學習,不做無用功,少走彎路,使學生在訓練中學會運算的通性通法,達到觸類旁通的效果.這種訓練不能搞題海戰術,需要教師精挑細選有變式、有梯度的同類題.認真研究高考真題,參考各地模擬題,可以直接歸類練習,還可以變換數字、角度進行變式訓練.通過對這類高質量題的反復練習,歸納總結,糾錯反思,有效提高學習效率的同時,也提高了針對這類題的運算能力.學生在這樣的專題訓練中,可以熟練掌握一類題的運算方法,形成“肌肉記憶”,即養成習慣.在復習課中使用這種訓練方法效率高,效果好.例如,在高三一輪復習中,講解“直線與圓相切”這一節時,有關切線長的最值問題,可以給出以下例題和變式.

例3若P為直線y=x+1上一動點,過點P作圓C:(x-3)2+y2=1的切線PA,A為切點,求切線長的最小值.

高考鏈接(2020年新課標Ⅰ卷·理)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點.過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB方程為______.

深度的變式和高考鏈接,使學生熟悉這類題目的題設和所求以及解決這類問題的通性通法,再遇到此類問題時能快速找到最簡單的解題路徑,從而提高學習效率,對學生的數學思維和數學運算能力都能起到綜合提升的效果.

3 反思總結

兩年的實踐探究,我們發現提升數學運算能力對不同的學生而言有很大的差異,個體的主觀能動性對效果影響極大,唯有持之以恒方有成效.教師需要把數學運算的培養貫穿教學的始終,在教學中可以運算作為紐帶建構教學進程,引導學生通過運算發現規律,借助運算解決問題[1],發展學生的數學思維,促進高中學生運算思想和運算能力的形成.數學運算核心素養的形成,不僅需要教師的指引,更需要學生的積極參與,以形成自己的運算習慣和運算觀.數學運算核心素養的培養是一個循序漸進的過程[2],需要一線教師長期不懈怠的探索和研究.因此,應把數學運算核心素養的培養滲透到每一節課的教學中,落到實處.