斜面上平拋運動探討

蔣麗萍

(江蘇省射陽縣教師發展中心,江蘇 鹽城 224300)

平拋運動的特點是:初速度水平、只受重力作用,運動軌跡為一條拋物線。平拋運動中的一類典型問題是落在斜面上的平拋運動,處理斜面上的平拋運動問題常用的方法是“化曲為直”,將曲線運動分解為兩個方向上的直線運動,借助直線運動的規律進行分析。在具體計算過程中,理解斜面傾角的正切值所表示的含義、建立不同坐標系是解決問題的關鍵。

1 利用平拋運動的速度偏轉角α與位移偏轉角β的關系解題

平拋運動的速度偏轉角α與位移偏轉角β的關系為:tanα=2tanβ,可利用此關系解題。

例1:如圖1所示,將一個小球從A點以速度v1水平拋出,小球垂直落在傾角為θ的斜面上的P點,若將小球拋出點移到圖中的B點,以速度v2水平拋出后小球垂直落在斜面上的Q點(圖中未標出),下列說法中正確的是( )。

圖1

A.Q點在斜面上P點的下方

B.Q點在斜面上可能與P點重合

C. 水平初速度v2一定大于v1

D. 兩次小球落在斜面上的動能可能相等

圖2

變式:如圖3所示,足夠長的斜面靜止在水平地面上。先后兩次將帶正電的小球從斜面底端A處以相同的速度拋出,不計空氣阻力。第一次不加電場,小球恰好沿水平方向撞到斜面上B點。第二次施加范圍足夠大、豎直向下的勻強電場,則小球( )。

圖3

A. 仍然會水平撞擊斜面

B. 撞擊點在B點的上方

C. 飛行時間比第一次長

D. 撞擊斜面時的速度比第一次大

解析:第二次施加電場,在豎直方向上有:vy0一定,a變大,則t變小,h變小,撞擊點在B點下方。兩次小球從A處以相同的速度拋出,運用逆向思維研究兩個平拋運動,落至A點的速度方向相同,根據tanα=2tanβ,則位移偏轉角相同,第二次斜拋運動的最高點在斜面上,仍然水平撞擊斜面。兩次斜拋運動水平方向速度不變,所以兩次撞擊斜面時的速度相同,故A選項正確。

點評:本題考查速度偏轉角與位移偏轉角的關系,與豎直方向的加速度的大小無關。若仍從斜面底端拋出,僅改變速度v0的大小,小球撞擊斜面,逆向研究平拋運動,速度偏轉角相同,則位移偏轉角也相同。故小球仍然水平撞擊斜面,與速度v0的大小無關,與速度的方向與斜面間的夾角有關。

2 將平拋運動沿斜面方向和垂直于斜面方向分解

在解決平拋運動問題時,常規的做法是沿水平和豎直方向分解速度和位移,對于斜面上的平拋運動,有時沿斜面方向和垂直于斜面方向進行分解,解題更為簡便。

例2:第24屆冬季奧運會于2022年2月在北京舉辦,圖4為運動員跳臺滑雪的場景,運動軌跡如圖5所示。運動員從C點水平飛出,落到斜坡上的D點,E點離坡道CD最遠,忽略空氣阻力。下列說法中正確的是( )。

圖4

圖5

A. 從C到E的時間比從E到D的時間短

B. 軌跡CE和ED長度相等

C. 軌跡CE和ED在CD上的投影長度之比為1∶3

D. 軌跡CE和ED在水平方向的投影長度相等

解析:如圖6所示,設斜坡的傾角為θ,將平拋運動沿斜面方向與垂直于斜面方向進行分解。在沿斜面方向運動員做勻加速直線運動,有:vx0=v0cosθ,ax=gsinθ;在垂直于斜面方向運動員做類豎直上拋運動,有:vy0=v0sinθ,ay=-gcosθ,從C到E與從E到D的運動時間相等,A選項錯誤。

圖6

沿斜面方向運動員做初速度不為零的勻加速直線運動,所以軌跡CE和ED在CD上的投影長度之比不為1∶3,軌跡CE和ED長度也不相等,B、C選項錯誤。

由于運動員在水平方向做勻速直線運動,兩段運動時間相等,所以軌跡CE和ED在水平方向的投影長度相等,故D選項正確。

點評:斜坡的傾角θ既表示軌跡CD段的位移角,又表示E點的速度偏角。研究平拋運動時一般沿水平方向和豎直方向上分解,本題通過轉換坐標系,將平拋運動沿斜面方向與垂直于斜面方向上分解,使問題迎刃而解。

變式:2022年2月8日,北京冬奧會舉行自由式滑雪女子大跳臺決賽。圖7為滑雪大跳臺的滑道示意圖。運動員由起點滑下,從跳臺上同一位置沿同一方向飛出后,在空中完成系列動作,最后落至著落坡。運動員離開跳臺至落到著落坡階段的軌跡如圖8所示,不計空氣阻力,運動員可視為質點。關于運動員在空中的運動,下列說法中正確的是( )。

圖7

圖8

A. 離著落坡最遠時重力的功率為零

B. 在相等的時間內,動量變化量逐漸變大

C. 在相等的時間內,動能的變化量逐漸變大

D. 落到著落坡時的速度方向與飛出時速度的大小無關

解析:離著落坡最遠時,運動員的速度方向與斜坡方向平行,豎直方向有速度,所以重力的功率不為零,A選項錯誤。

圖9

點評:在解決該變式題時,理解單位時間內動量變化量、動能變化量的含義是關鍵。該題將運動員從斜面頂端做平拋運動變為做斜拋運動,將此運動沿斜面方向與垂直于斜面方向分解,可得出結論:僅改變速度的大小,物體落至斜面時的速度方向不變。

3 結語

解決斜面上的平拋運動問題的基本思路是“化曲為直”,把復雜的曲線運動分解為簡單的直線運動,通常有兩種分解方法:(1) 沿水平方向和豎直方向分解;(2) 沿斜面方向與垂直于斜面方向分解。有時采用第2種分解方法可以達到事半功倍的效果。根據平拋運動的規律,運用運動的合成與分解分解速度和位移時,利用平拋運動的速度偏轉角與位移偏轉角的關系也是處理問題的關鍵。