宇宙速度的意義及其推導

馬仕彪

(安徽省濉溪中學,安徽 淮北 235100)

宇宙速度是從地球表面向宇宙空間發射人造地球衛星、行星際和太陽際飛行器所需的最低速度。

1 第一宇宙速度

牛頓曾在《自然哲學的數學原理》中提出了一個設想:如圖1所示,在高山上水平拋出一個物體,若速度一次比一次大,其射程就一次比一次遠,當速度足夠大時,它將會圍繞地球表面做圓周運動而不再落回地球表面,成為一顆人造地球衛星,這個足夠大的速度稱之為第一宇宙速度vⅠ。

圖1

2 第二宇宙速度

如圖2所示,若衛星發射的速度在第一宇宙速度的基礎之上逐漸增加,衛星的軌跡將為橢圓,橢圓的長軸隨著發射速度的增加而變大,衛星離開地球的最遠距離也逐漸變大。當衛星發射速度達到某一臨界值vⅡ時,衛星離地球足夠遠,以至于衛星能夠掙脫地球引力的束縛,成為太陽系的一顆小行星,這個臨界發射速度稱之為第二宇宙速度vⅡ,關于第二宇宙速度主要運用兩種方法進行推導。

圖2

2.1 運用積分法

圖3

積分法是推導第二宇宙速度時普遍采用的方法,其優點是過程簡單,學生在高中階段已經學習了微積分的相關知識,容易理解和接受,也能感受數學知識的實際應用,體驗成功的喜悅,增加學習的興趣。

在發射衛星時,往往并不是將衛星沿地球半徑朝外直接發射的,為了提高發射效率,一般要借助于地球的自轉速度,所以衛星的軌道不是直線而是橢圓。因此,為了讓研究更接近客觀事實,最好從橢圓的角度入手。

2.2 運用開普勒第二定律

如圖4所示,當衛星發射速度的數值在第一宇宙速度和第二宇宙速度之間時,衛星圍繞地球運動的軌跡為橢圓。

圖4

在高中階段,開普勒三大定律沒有得到有效的應用,這種方法無疑填補了這個空白,更有利于激發學生學習物理的熱情,對第二宇宙速度的理解也更加地深刻。

第二宇宙速度是衛星掙脫地球引力的最小發射速度,利用第二宇宙速度可以解決很多疑難問題,黑洞問題就是其中之一。2020年的諾貝爾物理學獎頒給了對黑洞研究有突出貢獻的科學家,采取第二宇宙速度的方法探索黑洞得到科學界的認可后,這將鼓勵人們持續研究黑洞。

例1:黑洞是愛因斯坦廣義相對論預言的一種質量極大的天體,黑洞自身不發光,難以直接觀測,我們可以通過太陽運動、黑洞邊緣的吸積盤及噴流乃至引力波來進行探測。已知萬有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,地球質量ME=6.02×1024kg,光速c=3.0×108m/s。求地球變成黑洞的最大可能半徑Rm(結果保留1位有效數字)。

解析:若要直接利用愛因斯坦廣義相對論的知識去解決黑洞問題,難度很大,但早在相對論提出之前就有人利用牛頓力學體系預言過黑洞的存在。他們認為黑洞的引力很大,大到物體以光速運動都無法從黑洞表面脫離或者說連光都無法從黑洞表面脫離,這也是黑洞的由來之一,因此可以運用第二宇宙速度的相關知識來解決該問題。

3 第三宇宙速度

如圖5所示,若衛星發射的速度大于第二宇宙速度,速度繼續增加,衛星不僅會脫離地球,而且還可能逐漸遠離太陽,當發射速度達到某一臨界值vⅢ時,衛星將掙脫太陽的引力束縛而進入銀河系,這個臨界速度稱之為第三宇宙速度vⅢ。

圖5

3.1 運用積分法

3.2 運用開普勒第二定律

4 結語

以上運用積分法和開普勒第二定律推導了三個宇宙速度的大小,并分析了各個宇宙速度的意義。而這些只是理論上的結論,事實上,當要考慮衛星發射時的地理位置、大氣阻力、地球自轉等因素時,真實的宇宙速度的計算比想象的要復雜得多,這是可拓展研究的課題。