狹義相對論“尺縮效應”下電場力和洛倫茲力的等效性

摘? ?要：“尺縮效應”是愛因斯坦狹義相對論的重要結論之一。在無限長直導線電流模型中應用“尺縮效應”可以把地面系下導線外的移動電荷受到的洛倫茲力轉化為移動電荷參照系下電荷受到的電場力，且轉化后兩種力大小相等，符合慣性系轉換中受力不變的原則。

關鍵詞：尺縮效應；電場力，洛倫茲力；狹義相對論；無限長直導線

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）9-0060-3

收稿日期：2023-01-24

作者簡介：王磊（1988-），男，中學一級教師，主要從事中學物理教學工作及研究。

1? ? 慣性系轉換中出現的電場或磁場消失問題

1.1? ? 電場的消失和出現

在火車上放一個導體線圈，地面上放一塊磁鐵（圖1）。火車開動后，火車上的導體就會切割地面磁鐵產生的磁場的磁感線，從而在回路里產生電流。這是一個非常簡單的電磁感應實驗，但是，當我們分別站在地面和火車上不同視角看問題時，奇怪的事情發生了。

在地面上，我們看到的是：磁鐵在地面上靜止不動，磁感應強度沒有變化。火車經過這里時，火車上運動的導體會切割磁感線，導體內的自由電荷在洛倫茲力作用下定向移動產生電流。而在火車上，我們看到：眼前的導體和回路都沒動，當火車經過磁鐵那里時，回路里的磁場突然增強了，進而產生了感應電場，感應電場推動電荷運動產生電流。也就是說，地面系下是洛倫茲力推動電荷，火車系下是電場力推動電荷。火車上的人覺得是變化的磁場產生了電場，磁鐵附近有電場；地面上的人覺得是運動電子在磁場中受到了洛倫茲力，磁鐵附近沒有電場。電場，這么實實在在的東西，怎么能在一個參考系里有，在另一個參考系里又沒有了呢？

1.2? ? 磁場的消失和出現

假設勻速前進的火車中有一靜止電荷，火車上看，電荷靜止，電荷周圍只存在電場，而在地面上看電荷勻速前進形成電流，進而產生磁場。故地面系下電荷既有電場又有磁場，而火車系下只有電場。火車系下磁場消失了，而地面系下磁場出現了。

2? ? 狹義相對論“尺縮效應”

愛因斯坦狹義相對論的核心在于把電磁理論融入相對性原理中。慣性系轉換中出現的電磁消失問題可以用狹義相對論“尺縮效應”來解釋。

在火車上放置一兩邊帶豎直鏡面平板的AB標尺（圖2）。采用激光測距的方法測量標尺長度。讓A處的光源發出的光射到平面鏡B上，經B反射后被A接收，測量光從A發出到再被A接收所用的時間來測量標尺長度。

在火車參考系中，觀察者測得的長度為相對自己靜止的長度l0，使用的時間為固有時間間隔t0，兩者滿足關系2l0=ct0。在地面參考系（圖3）中，觀察者測得的長度為標尺相對自己運動時的長度l，在激光向右到達平面鏡B的過程中滿足l+uΔt1=cΔt1；向左回到A的過程中滿足l-uΔt2=cΔt2；Δt1+Δt2=t。根據鐘慢效應t=，可得l=l0，該式顯示了在地面參照系下觀察運動的車廂內物理尺寸在運動方向上會變短。根據運動的相對性可知，以車廂為參照系，地面向后運動，在車廂上觀察地面上物體在運動方向上尺寸也會縮短。故狹義相對論的尺縮效應可以解釋為在非本征參照系觀察某一物體的長度比本征參照系長度要短，或者說本征參照系下測量物體的尺寸最長［1］。

3? ? 無限長直導線模型下狹義相對論“尺縮效應”對“電磁消失”的解釋

麥克斯韋在提出麥克斯韋方程組時雖然沒有選擇任何參照系，但是通過火車線圈實驗我們可以了解，在不同的參照系下同一組電場和磁場是以不同的形式呈現的。在第一個例子中，地面系下只有磁場，而火車系下卻是磁場與電場共存。那么，愛因斯坦的狹義相對論對于以上現象能給出合理的解釋嗎？

為了計算簡單，繼續簡化模型，考慮無限長直導線問題（圖4）。我們知道，導線中有自由移動的電荷，通常只有負電荷可以自由移動。為了簡化問題，假設導線中正負電荷均可自由移動，正負電荷的帶電量大小都是e。導線中電荷是雜亂無章分布的，為了簡化問題，讓正電荷和負電荷在導線中整齊上下分開排列。假設導線中所有負電荷相對地面靜止，而所有正電荷向右速度均為v，該無限長直導線形成了水平向右的電流I。在地面參考系下，導線中正負電荷的線密度均為ρ0。這樣，在地面系下，導線正負電荷因密度相同故在外界產生的電場相互抵消，在導線外部只存在磁場。根據畢奧-薩伐爾定律和安培環路定理可知，距導線垂直距離為r處的磁感應強度大小為

假設距導線r處有一正電荷q水平向右運動速度也為v，則它受到豎直向上的電場力

在地面系下，電荷q只受到洛倫茲力。

現改變參照系，以水平向右運動的電荷q或導線中水平向右移動的自由正電荷為參照系（圖5）。則正電荷均靜止，而負電荷向左移動速度大小也為v，根據愛因斯坦相對論“尺縮”結論l=l0。導線中正負電荷的總電荷量Q不因參照系改變而變化。再根據電荷線密度ρ=可知，以水平向右運動的電荷q為參照系時，導線中正電荷所在空間將延長，正電荷密度將變小為ρ+=ρ0；負電荷所在空間將變短，負電荷密度將變大為ρ-=，則導線上的凈電荷密度

常規導線中電荷的定向移動速度量級為10-5 m/s，正負電荷的定向移動速度遠遠小于光速，故對（5）式應用泰勒展開到一階小量，舍掉二階以上小量可知

ρ為負電荷。故在導線周圍存在指向導線的電場，設距導線距離為r處的電場強度為E，取任意長為l的導線，根據高斯定理有E·2πrl=，得到

根據電場力公式F=Eq，結合（6）式可得

根據伽利略相對性原理，在不同慣性系間轉換時不會影響物體的受力情況，故（4）（8）式結果應該相等［2］，即地面系下電荷q受到的洛倫茲力F=應與運動電荷q參照系下電荷q受到的電場力F=相等。根據麥克斯韋方程組結論［3］可知

將（9）式代入（8）式可得

本文構建了無限長直導線模型，利用狹義相對論“尺縮效應”解釋了不同慣性參照系下電磁場的“消失”現象。電場、磁場的物質性在參照系的轉換中顯示了它們和一般物體的不同，在不同慣性系下電磁場以不同的形式存在。通過論證地面系下電荷受到的洛倫茲力與電荷系下電荷受到的電場力相同，反過來印證了狹義相對論的正確性。狹義相對論的提出目的在于融合電磁理論，在狹義相對論的物理教學中通過對不同慣性系下電磁理論的說明可以更好地向學生展示狹義相對論原理，同時讓學生更好地理解電磁理論。

參考文獻：

［1］胡愛和.車廂模型的構建及應用——“相對論簡介”教學研究［J］.物理教師，2014，35（11）：28-29.

［2］王磊，張天浩.轉動參考系下的慣性力［J］.物理教學探討，2020，38（11）：55-57，60.

［3］董廣宇.從麥克斯韋方程組到電磁波方程［J］.現代物理知識，2017，29（3）：51-54.（欄目編輯? ? 蔣小平）