一種基于GO法的多態反饋系統選擇性維修模型

溫 軼 群, 段 富 海

(大連理工大學 機械工程學院,遼寧 大連 116024 )

0 引 言

現代戰爭是時間的戰爭,飛機作為快速奪取制空權、建立有利戰場態勢的最佳手段,其作用不言而喻.戰場環境分秒必爭,為使飛機能夠在最短時間實現再次出動,需要對飛機進行選擇性維修.如何在最短時間對飛機進行選擇性維修,同時保證裝備具有較高的可靠性,并確保維修費用在合理的范圍內,是值得探討的熱門問題.

選擇性維修決策主要是對維修對象和維修行為進行優化選擇,根據不同的任務需求,建立相應的選擇性維修模型.Rice等[1]于1998年第一次提出選擇性維修的概念,在考慮時間、費用、人員和備件等有限維修資源的約束下,根據任務需求,確定目標函數,從而建立選擇性維修模型進行優化求解.自選擇性維修概念提出以來,國內外許多學者對其展開了深入的研究.Bris等[2]以費用最小化為目標函數,將系統可靠度控制在閾值之內,建立選擇性維修模型;Laggoune等[3]和Wang等[4]根據Bris等建立的選擇性維修模型,采用不同求解算法進行優化;曹文斌等[5]假設部件維修后,其狀態分布服從馬爾可夫模型得出狀態轉移函數,并根據不同的任務需求,考慮維修費用、時間和系統可靠度等因素,建立相應的選擇性維修模型;進一步地,曹文斌等[6]考慮多態反饋系統存在的共因失效問題,提出了一種模糊多態反饋系統選擇性維修模型;王少華等[7]考慮在有限任務間隔時間的約束條件下,以最小維修、預防更換和事后更換為維修方案,以任務可靠度為目標函數,建立復雜串并聯系統的選擇性維修模型;陳兆芳等[8]考慮電梯系統可靠度、有效役齡以及維修費用和時間等因素,建立選擇性維修模型,并運用粒子群優化算法進行優化求解;Pandey等[9]考慮役齡回退因子對元件役齡的影響,建立了以系統可靠度為目標函數、以維修費用和時間為約束條件的選擇性維修模型;史海慶等[10]利用貝葉斯公式求出飛機處于各役齡完成下次任務的概率,構建未知役齡軍用飛機的選擇性維修模型,并利用遺傳算法進行優化求解;王海朋等[11]考慮多維修人員對復雜系統進行不完全維修,建立選擇性維修模型,并用粒子群優化算法進行求解.上述研究均取得了較好的成果,但在系統可靠度的研究上還需優化,且大多數文獻采用可靠性框圖法對串并聯系統進行建模,未考慮反饋回路對系統可靠度的影響.

本文假設多態反饋系統各元件失效概率與時間的關系均服從韋布爾分布,以某一閾值為失效臨界點,將元件正常狀態的時間段按照元件的kij+1種性能狀態等分為kij個時間段,并取時間段中可靠度的上界作為元件在某一狀態的可靠度,運用GO法分析整個系統正常運行的可靠度;根據不同的維修行為推導得出各種維修方案所需的維修費用和時間;以時間最小化為目標函數,以維修后系統可靠度和維修費用為約束條件,建立選擇性維修模型;最后采用粒子群優化算法對構造的選擇性維修模型進行求解.

1 問題描述

1.1 假設分析

假設多態反饋系統由M個相互獨立的子系統組成(M=1,2,…,m),每個子系統由N個相互獨立的元件組成(N=1,2,…,n).元件Eij有kij+1種性能狀態,其所處各性能狀態可表示為gij={0,1,…,kij},其中0表示元件處于故障狀態;1表示元件處于到達額定使用壽命的臨界狀態;2,…,kij-1表示故障與完好之間的多中間狀態;kij表示完好狀態.元件Eij處于各性能狀態的可靠度可表示為rij={rij(0),rij(1),…,rij(kij)}.

假設系統所有元件在其全壽命周期中,其失效概率與時間t的關系均服從韋布爾分布,則元件Eij在時間t的可靠度rij可表示為

rij(t)=exp[-(t/ηij)βij]

(1)

其中ηij和βij分別表示元件Eij服從韋布爾分布的尺度參數和形狀參數.

元件在服役過程中,其性能狀態隨著時間不斷退化,可靠度不斷下降.當元件Eij處于故障狀態或可靠度下降至閾值ω0(即元件到達額定使用壽命)時,為保證整個系統正常運行,并處于較高的可靠性水平,根據工程實際,需要對元件Eij進行更換.

由于元件在不同時間處于不同的性能狀態,將元件Eij在可靠度下降至閾值ω0前的時間長度L(t)離散化,根據元件Eij的kij+1種性能狀態,將L(t)等分為kij個時間段,每個時間段長度為L(t)/kij,取每個時間段可靠度的上界作為該狀態的可靠度[10].元件各性能狀態對應的韋布爾分布圖如圖1所示.

圖1 元件各性能狀態對應的韋布爾分布圖

韋布爾分布中,t=L(t)(kij-gij)/kij,代入式(1),可得元件Eij處于全部kij種性能狀態(即gij={1,2,…,kij})時所對應的可靠度:

rij(gij)=exp[(-L(t)(kij-gij)/kijηij)βij]

(2)

1.2 系統可靠性分析

系統可靠性分析方法主要有可靠性框圖法、故障樹法、GO法等[12],其中故障樹法使用時間最長,發展也相對完善,但其對復雜系統的分析有較多的難點,特別是對多狀態、有時序、有信號反饋等復雜系統的可靠性分析尤其困難,而GO法卻能有效解決以上問題.

GO法是一種有效的多態復雜系統可靠性分析方法,首先,根據系統各元件特點匹配相應的操作符,然后分析系統結構和工作原理,構建系統GO圖;其次,基于其操作符相關運算規則,遵循特定的信號流序列,對每個操作符逐步進行運算,完成系統各狀態的概率計算;最后,可獲得系統成功運行的精確概率[13].

2 維修行為、費用和時間

為方便研究的開展,這里作以下假設:

(1)維修行為只發生在任務間隔期,任務過程中不進行維修;

(2)系統各元件的可靠性均服從韋布爾分布;

(3)系統在任務結束時,各元件的性能狀態已知;

(4)各元件的維修行為可以使元件的性能狀態修復至更好狀態;

(5)僅考慮維修行為所需的費用和時間這兩類維修資源,人員、備件等其他資源充足.

2.1 維修行為

已知任務結束時,元件Eij性能狀態為Xij,若對元件Eij進行維修,維修行為記作lXij,Yij,維修后元件Eij的性能狀態為Yij,維修所需的費用和時間分別記作cXij,Yij、tXij,Yij.Xij∈{0,1,…,kij},Yij∈{2,3,…,kij},且Yij≥Xij.

當Xij∈{0,1}時,為節省維修時間并確保系統處于較高的可靠度,需要對元件Eij進行更換,這樣更符合工程實際,且更換后Yij=kij,其維修行為對應的性能狀態轉移圖如圖2所示.

圖2 更換維修行為對應的性能狀態轉移圖

當Xij∈{2,3,…,kij}時,可選擇不修、更換、不完美維修等維修方案,各維修行為對應的性能狀態轉移圖如圖3所示.

圖3 各維修行為對應的性能狀態轉移圖

當Yij=Xij時,表示不對元件Eij進行維修;當Yij=kij時,表示對元件Eij進行更換;當Yij>Xij時,表示對元件Eij進行不完美維修.

2.2 維修費用和時間

元件Eij維修前的性能狀態為Xij,維修后的性能狀態為Yij,對于維修方案lXij,Yij,若Yij越大,則表示維修的水平越高,消耗的費用越多.

當Xij∈{0,1}時,Yij=kij,需要對元件Eij進行更換,則維修費用的表達式為

(3)

當Xij∈{2,3,…,kij-1}時,若Yij=Xij,表示不對元件Eij進行維修;若Yij>Xij,表示對元件Eij進行不完美維修;若Yij=kij,表示對元件Eij進行更換.相應的維修費用表達式為

(4)

當Xij=kij時,Yij=kij,表示不對元件Eij進行維修,則維修費用的表達式為

cXij,Yij=0

(5)

系統總維修費用為

(6)

同理,當Xij∈{0,1}時,對元件Eij進行更換,維修消耗的時間只有拆裝元件等固定時間,則維修時間的表達式為

(7)

當Xij∈{2,3,…,kij-1}時,元件Eij的維修方案為不修、不完美維修、更換,維修時間的表達式為

(8)

當Xij=kij時,Yij=kij,表示不對元件Eij進行維修,則維修時間的表達式為

tXij,Yij=0

(9)

假設人員充足,維修設備狀態良好,所有元件同時進行維修,則系統總維修時間Ts為系統各元件維修時間中的最大值:

Ts=max(tXij,Yij)

(10)

3 多態反饋系統選擇性維修模型

3.1 選擇性維修模型

在有限維修資源條件下,如何提高飛機的可用性,讓其能夠在最短時間實現再次出動,占據戰場優勢,對戰爭的發展尤為重要.

本文以維修時間最小化為目標函數,考慮不同維修行為對系統各元件性能狀態的影響,以系統成功運行的可靠度和維修費用為約束條件,建立選擇性維修模型.

目標函數:

minTs=min(max(tXij,Yij))

(11)

約束條件:

Cs≤C0

(12)

Ps≥ωs

(13)

目標函數(11)表示系統維修時間最小化;約束條件(12)表示系統總維修費用小于或等于預算費用;約束條件(13)表示維修后系統的可靠度大于或等于系統正常運行的最低要求.

3.2 選擇性維修決策優化

針對3.1節建立的優化模型,當元件的性能狀態較少時,可以采用枚舉法等進行優化求解,但隨著元件性能狀態的增加,解空間出現空間爆炸,求解難度過大[14].粒子群優化算法是模擬鳥群捕食行為特點,對當前搜索的最優解進行迭代,從而尋找全局最優解的智能算法,具有操作簡捷、收斂速度快等特點[15],因此本文采用粒子群優化算法進行求解.

3.2.1 粒子群優化算法 多態反饋系統選擇性維修決策問題用粒子群優化算法可以描述如下:假設一個D維空間由粒子容量為N的種群Y組成,Y=(Y1…Yz…YN),粒子Yz可表示為D維向量Yz=(Yz1…Yzd…YzD),Yz代表系統的一個潛在維修方案,同時也是所求模型的一個潛在解,其中Yzd代表系統某一元件進行選擇性維修后的性能狀態,Yzd越大,代表維修的水平越高,且2≤Yzd≤kij.每個Yz都對應一個與模型相關的適應度函數值.粒子通過有限次的迭代尋找最優解,在每次迭代中,粒子通過跟蹤其歷史個體極值Pz(w)和所經歷的適應值最好位置Pg(w)更新自己,最終收斂于全局的最優位置.其中,Pz(w)=(Pz1(w)…Pzd(w)…PzD(w)),Pg(w)=(Pg1(w) …Pgd(w) …PgD(w)),Pg(w)即為系統選擇性維修模型的最優方案.在第w次迭代時,各粒子的位置可以表示為Pz(w)=(Pz1(w)…Pzd(w)…PzD(w)),Pzd(w)∈[2,kij];各粒子的運動速度可以表示為vz(w)=(vz1(w) …vzd(w) …vzD(w)),其中vzd(w)∈[vmin,vmax];在找到Pz和Pg前,粒子根據式(14)、(15)更新自己的速度和位置:

vzd(w+1)=vzd(w)+c1r1(Pzd(w)-Yzd(w))+

c2r2(Pgd(w)-Yzd(w))

(14)

Pzd(w+1)=Pzd(w)+vzd(w+1)

(15)

式中:w為迭代步數,c1、c2為學習因子,r1、r2為[0,1]內的隨機數.

3.2.2 算法流程 算法流程步驟如下:

步驟1初始化粒子種群,設定種群規模為N、迭代步數為w,學習因子為c1、c2;設置各項參數,包括元件數量和維修前各元件的性能狀態.

步驟2計算各粒子的適應度函數值.

步驟3更新粒子的速度和位置,找到對應各元件的性能狀態Yzd,計算系統成功運行的可靠度Ps,得出各元件實施以上維修方案所需維修費用矩陣為(c11c12…c1nc21c22…cij…cmn),其中cij為元件Eij的維修費用,由式(6)計算出系統總維修費用Cs.

步驟4判斷進化后的粒子是否滿足約束條件.若滿足,則更新粒子的性能狀態,重新計算進化后粒子的適應度函數值,執行步驟5;若不滿足,則轉至步驟3.

步驟5更新粒子的歷史個體極值和所經歷的適應值最好位置.

步驟6更新粒子群的歷史個體極值和所經歷的適應值最好位置.

步驟7判斷是否滿足終止條件:若迭代步數小于w,則轉至步驟3;否則輸出最優的決策方案.

4 案例分析

某艦載機折疊翼控制系統原理圖[16]如圖4所示.假設系統各元件的失效概率與時間的關系均服從韋布爾分布,根據式(2)及各元件服從韋布爾分布的尺度參數和形狀參數,可計算出各元件在不同性能狀態下的可靠度,見表1.

表1 各元件性能狀態及可靠度

圖4 艦載機折疊翼控制系統原理圖

根據GO法原理,結合17類操作符特點,按照信號流的序列,構建系統GO圖,如圖5所示,其中圖形內前后的數字分別表示操作符類型和編號,箭頭表示信號的流向,箭頭上的數字表示信號流的序號.各操作符所代表的操作符編號和類型等見表2.

表2 艦載機折疊翼控制系統操作符數據

圖5 艦載機折疊翼控制系統GO圖

圖5中,信號流10為反饋信號,假設各元件的布爾變量為Ci,信號流的布爾變量為Si,則關鍵信號流對應的布爾方程如下:

(1)信號流2

S2=1-(1-C1)(1-S10C9)

(16)

(2)信號流4

S4=S2C2C3

(17)

(3)信號流10

S10=C4C5C6C7C8[1-(1-S4)(1-S10C10)]

(18)

將式(16)、(17)代入式(18)中,整理得

S10=S10{C4C5C6C7C8[C2C3(C9-C1C9-

C1C10-C9C10+C1C9C10)+C10]}+

C1C2C3C4C5C6C7C8

(19)

根據布爾方程X=μX+β,解得X=μ+β或X=β,可得

S10=C4C5C6C7C8[C2C3(C9-C1C9-

C1C10-C9C10+C1C9C10)+C10]+

C1C2C3C4C5C6C7C8

(20)

S′10=C1C2C3C4C5C6C7C8

(21)

因為系統的可靠性是指其成功運行概率的最大值[17],所以式(20)滿足條件,換算成相應的概率為

PS10=PC4PC5PC6PC7PC8[PC2PC3(PC9-

PC1PC9-PC1PC10-PC9PC10+

PC1PC9PC10)+PC10]+

PC1PC2PC3PC4PC5PC6PC7PC8

(22)

若不考慮反饋回路,直接斷開反饋回路進行定量計算,則關鍵信號流的計算過程如下:

(1)信號流2

PS2=1-(1-PC1)(1-PC9)

(23)

(2)信號流4

PS4=PS2PC2PC3

(24)

(3)信號流5

PS5=1-(1-PS4)(1-PC10)

(25)

(4)信號流10

PS10=PS5PC4PC5PC6PC7PC8

(26)

將式(23)～(25)代入式(26)中,整理得

PS10=PC2PC3(PC1+PC9-PC1PC9)(1-PC10)+PC10

(27)

假設該系統完成上一任務后,各元件的性能狀態已知,各元件可靠度閾值ω0=0.65,系統可靠度閾值ωs=0.89,系統維修費用的約束值C0=6.5×105元.完成上一任務后,系統各元件的性能狀態及對應的可靠度見表3.

表3 完成上一任務后,各元件性能狀態及可靠度

將表3數據代入式(22)中,得出上一任務完成后,系統正常運行的可靠度Ps=0.434 612,低于系統可靠度閾值ωs=0.89,影響下一任務的正常實施,所以需要對系統進行選擇性維修.

表4 各元件維修參數

分別以式(22)、(27)作為可靠度約束條件,將表4數據代入建立的選擇性維修模型(11)～(13),運用粒子群優化算法進行求解,結果見表5.

表5 選擇性維修方案

由表5可知,當考慮反饋時,系統總維修費用為6.3×105元,總維修時間為5 h,維修后的可靠度為0.900 572;不考慮反饋時,系統總維修費用為3.36×105元,總維修時間為1.5 h,維修后的可靠度為0.995 154.將考慮反饋與不考慮反饋所得結果進行對比,誤差較大.當系統的邏輯連接關系改變后,系統的可靠性分析結果也會有一定誤差,同時也驗證了直接斷開反饋回路降低了系統可靠性分析的可信度,從而驗證了本文考慮系統反饋回路建立的選擇性維修模型及優化算法可信度更高.

5 結 論

(1)本文提出一種針對多態反饋系統的選擇性維修模型,根據元件可靠度隨服役時間的變化,以某一可靠度閾值為有效臨界點,將閾值范圍內的時間長度進行等分,對應不同的性能狀態.對不同的性能狀態考慮不修、更換和不完美維修等維修方案,更加符合工程實際.

(2)相比于可靠性框圖法,運用GO法對系統可靠性進行分析,不僅可以有效解決反饋回路對系統可靠性的影響,而且對于多狀態、有時序復雜系統的可靠性評估更加準確有效.

(3)以某艦載機折疊翼控制系統為例,驗證了所提模型和優化算法切實有效可行,能夠為多態反饋系統提供一種行之有效的選擇性維修決策方案.