基于隱馬爾科夫模型的非球面磨床誤差建模與補償分析

劉殊男，楊柳

(1.長春科技學院智能制造學院，吉林長春 130600；2.長春工業大學人文信息學院汽車工程學院，吉林長春 130122)

0 前言

光學非球面在加工過程中，無論精磨或是拋光，其表面均會殘留一定程度的環帶波紋誤差，如何解決非球面光學加工表面環帶波紋誤差已成為當前光學加工領域研究的熱點問題[1-2]。由于光學非球面相比于光學球面具有無法比擬的優越性，所以提出有效方法降低甚至消除光學非球面加工中表面殘留的環帶誤差，具有一定的工程意義，也可以使光學非球面元件的應用范圍得到進一步拓展[3-4]。

針對光學非球面在加工中表面殘留的環帶波紋問題，提出數控切線回轉成形原理[5-6]，輔以模式識別領域中的隱馬爾科夫模型進行加工補償，可以有效提升非球面加工質量。

1 加工原理

如圖1所示，L為被加工非球面曲線，m為磨輪，在磨削過程中，磨削點Pi同時進行3種運動：橫向進給、縱向進給和回轉擺動，使磨輪與被加工曲線一直保持相切，可形成近似理想光滑的連續運動曲線，且得到的是沒有波紋誤差的非球面面型曲線。

圖1 切線回轉成形示意

為驗證加工原理，自主研發了“非球面磨削拋光機床”，原理樣機如圖2所示，其采用速度插補方法進行非球面成形加工。

圖2 原理樣機

2 速度插補數學解析

速度插補以傳統插補為基礎，對被加工曲線以固定步長分割，通過數學建模可獲得節點進給速度及加速度，具體數模如下：

將被加工曲線方程進行固定步長分割，可得到橫、縱軸位移時間映射函數，如方程組(1)所示：

(1)

假設Δti為任意步長進給時間，直接解算縱軸進給速度vyi=Δyi/Δti，間接解算橫軸任意步長進給速度及加速度，其中進給起點速度為vx0=0。

第1分割段：

(2)

vx1=ax1Δt1

(3)

第2分割段：

(4)

vx2=vx1+ax2Δt2

(5)

第3分割段：

(6)

vx3=vx2+ax3Δt3

(7)

第i分割段：

(8)

vξi=vξ(i-1)+aξiΔti

(9)

第n分割段：

(10)

vxn=vx(n-1)+axnΔtn

(11)

方程(1)—(11)中：vyi為縱軸第i分割段平均速度；ai為橫軸第i分割段加速度；ti為第i分割段進給時間。

3 隱馬爾科夫模型

由于數控切線回轉成形原理的特殊插補形式，傳統的誤差補償技術(檢測誤差再補償)已不滿足速度插補的時基需求，因此，結合模式識別中的隱馬爾科夫模型建立速度插補前瞻預測模型，可實現數控切線回轉成形的精密補償。

3.1 HMM組成

20世紀70年代，隱馬爾可夫模型(Hidden Markov Model，HMM)首次問世[7-8]，并逐漸得到發展，目前已廣泛應用于面相識別[9]、語音處理[10]、車輛檢測[11]和車輛跟蹤[12]領域。HMM是一種用于統計隨機特性的概率模型，可用5項基本元素對其進行描述，如表1所示。

表1 HMM基本元素

如表1所示，狀態轉移概率矩陣A可用式(12)表示，具體為：T時刻，狀態Si在T+1時刻的概率；觀測概率矩陣B可用算式(13)表示，具體為：T時刻，觀測符號Vk的概率；初始狀態概率矩陣π可用算式(14)表示，具體為：T=1的初始時刻，狀態Sj的概率。

Aij=P(AT+1=Sj|QT=Si) 1≤i,j≤N

(12)

Bj(k)=P(Vk|QT=Sj) 1≤k≤M,1≤j≤N

(13)

πj=P(Q1=Sj) 1≤j≤N

(14)

3.2 前瞻誤差預測

以過往和當前誤差數據為樣本對HMM進行有效訓練，確定HMM五項基本元素，完成速度插補前瞻預測。具體實施如下：

(1)數據離散化處理

利用閾值T1對檢測誤差進行狀態分類：較高、正常、較低；利用閾值T2對檢測誤差狀態進行觀測n分類。

(2)參數估計

建立曲線N個分割段的不同HMM，應用MATLAB軟件，有效評估狀態轉移概率矩陣A和觀測概率矩陣B，構建N個HMM。

(3)誤差預測

根據過往分割點檢測誤差、當前分割點檢測誤差和HMM，對下一刀次分割點誤差進行前瞻預測，得到誤差估計值E，如式(15)所示：

(15)

(4)誤差補償

應用式(15)解算得到誤差預測值，實施誤差前瞻補償，得到補償運動參數，如式(16)所示：

Δ′=Δ+Ei

(16)

4 誤差補償建模

以實際加工進刀50、100次誤差數據為訓練樣本，構建HMM補償模型，檢測誤差E范圍為(-20，20)脈沖；狀態數N取3，較高、正常、較低；每個狀態觀測數M取9，初始狀態概率矩陣π取[1/3，1/3，1/3]，設置閾值T1=0.05，確定離散誤差狀態S如式(17)所示，實際觀測值O由式(18)得到

(17)

(18)

在誤差前瞻預測解算時，離散化誤差預測值還原離散值，采用式(15)進行解算，參數Γ設置為[-18,-14,-10,-6,0,6,10,14,18]T。

5 實驗分析

以原理樣機實際加工為例，非球面曲線方程如式(19)所示，面型參數如表2所示。

(19)

表2 非球面參數

將被加工曲線進行15分割，以進刀50、100次的檢測誤差ε1、ε2為訓練樣本構建HMM，以補償前1次檢測誤差ε0狀態觀測值解算當前刀次誤差分布概率值，從而得到誤差預測期望值，對下一刀次誤差進行前瞻補償。表3所示為補償前后誤差數據。

表3 誤差數據對比 單位：脈沖

由表3可知：補償后分割節點誤差數據得到顯著改善，ε1、ε2明顯變小；補償后誤差殘差數據方差下降至0.949 8，加工后工件表面光滑且無環帶波紋誤差；比較ε1、ε2，ε2方差更小、補償效果更優，說明模型訓練樣本基數影響補償精度，與HMM基本理論相符，因此基于隱馬爾科夫模型的誤差補償技術行之有效。

6 總結

(1)經文獻調研總結，環帶波紋是制約非球面光學元件廣泛應用的主要問題，采用數控切線回轉成形可以有效解決非球面加工中的環帶波紋；

(2)速度插補是實現數控切線回轉成形的關鍵。基于數學模型解析了速度插補的應用過程，指出了針對速度插補實施補償存在的時基性問題；

(3)結合模式識別領域的隱馬爾科夫模型構建了適應于速度插補原理的誤差補償模型，實驗結果表明：研究的誤差補償方法有效實施了速度插補補償，補償后的速度殘差滿足原理樣機的加工需求。