單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)效率建模及分析

吳洪東

(廣州市機(jī)電技師學(xué)院，廣東廣州 510430)

0 前言

蝸桿傳動(dòng)是在空間交錯(cuò)的兩軸間傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的一種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，具有傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)床、儀器、起重運(yùn)輸機(jī)及建筑機(jī)械中。然而與齒輪傳動(dòng)等方式相比，蝸桿傳動(dòng)存在傳動(dòng)效率低的缺點(diǎn)。對(duì)此，諸多學(xué)者針對(duì)如何提高蝸桿傳動(dòng)效率展開了研究，提出了一系列具有活動(dòng)齒包絡(luò)蝸桿傳動(dòng)形式[1-5]。這種傳動(dòng)方式主要通過蝸輪活動(dòng)齒的自身旋轉(zhuǎn)，將常規(guī)蝸桿傳動(dòng)的滑動(dòng)摩擦轉(zhuǎn)變?yōu)闈L動(dòng)摩擦，以減少滑動(dòng)摩擦損失，提高傳動(dòng)效率。單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)就是一種活動(dòng)齒包絡(luò)蝸桿傳動(dòng)方式[6]，端面嚙合蝸桿齒面是由以滾子齒面為母面包絡(luò)展成。許多學(xué)者對(duì)單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)的嚙合理論、模型創(chuàng)建、自轉(zhuǎn)特性、瞬態(tài)動(dòng)力、彈流潤(rùn)滑、閃溫特性、設(shè)計(jì)加工等進(jìn)行了大量研究[7-11]。本文作者在嚙合理論基礎(chǔ)上，以傳動(dòng)效率為研究對(duì)象，建立單滾柱包絡(luò)端面蝸桿數(shù)學(xué)模型，分析影響傳動(dòng)效率的主要因素，通過仿真進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

1 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)建模

單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)三維模型如圖1所示，包括端面蝸桿和滾柱式蝸輪兩部分。

圖1 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)三維模型

蝸輪結(jié)構(gòu)如圖2所示，滾柱均勻地分布在蝸輪盤端面上，滾柱可以繞自身中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。該結(jié)構(gòu)能使蝸輪與蝸桿接觸面積增大，接觸更加穩(wěn)定，安裝方便且安裝精度高。

圖2 蝸輪結(jié)構(gòu)示意

1.1 嚙合點(diǎn)受力分析

設(shè)某一瞬間，在嚙合點(diǎn)p處，蝸桿齒面、蝸輪齒面的法向力分別為Fn1、Fn2，切向力分別為Ft1、Ft2，軸向力分別為Fa1、Fa2，如圖3所示。

圖3 蝸桿(a)、輪齒(b)在嚙合點(diǎn)的受力簡(jiǎn)圖

由嚙合理論可知，在嚙合點(diǎn)p處，蝸桿齒面、蝸輪齒面的相對(duì)速度矢量v12的公法向分量為零。由摩擦力的產(chǎn)生原理——源于兩接觸面或兩接觸點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)推導(dǎo)可知，在嚙合點(diǎn)p處，蝸桿齒面、蝸輪齒面的摩擦力公法向分量為零。因此，摩擦力僅存在于兩共軛齒面公切面內(nèi)，即蝸輪、輪齒是在切向力的作用下繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的。

由以上可知，輪齒在切向力Ft2的作用下繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，并將此方向的滑動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)闈L動(dòng)。設(shè)滾動(dòng)摩擦因數(shù)與滑動(dòng)摩擦因數(shù)比值為fg，則對(duì)輪齒傳動(dòng)效率起影響的作用力為Fn2、Fa2、fgFt2，其合力為

F2=Fn2+Fa2+fgFt2

(1)

由力的平衡條件易知，對(duì)蝸桿傳動(dòng)效率起影響的作用力為Fn1、Fa1、fgFt1，其合力為

F1=Fn1+Fa1+fgFt1

(2)

由平衡條件易得：

F2=-F1

(3)

式中：負(fù)號(hào)僅表示兩者方向相反。

設(shè)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f，則蝸輪齒面、蝸桿齒面在嚙合點(diǎn)p處的摩擦力分別為

Ff1=Fn1f

(4)

Ff2=Fn2f

(5)

其中Ff1、Ff2與嚙合點(diǎn)p處的相對(duì)速度矢量v12方向分別為相反和相同，則有：

(6)

(7)

式中：α1、α2分別為Ft1與Ff1、Ft2與Ff2的夾角，易知α1=α2。

(8)

式中：A為傳動(dòng)副中心距；R為蝸輪輪齒(滾柱)半徑；θ、u為輪齒參數(shù)；i21為傳動(dòng)副傳動(dòng)比；φ2為蝸輪轉(zhuǎn)角；k、z2分別為傳動(dòng)副喉頸系數(shù)和蝸輪齒數(shù)；中間變量a2=A(2-k)(8-5z2)/(10z2)。

由上可知，對(duì)蝸輪齒面、蝸桿齒面在嚙合點(diǎn)p處的摩擦力產(chǎn)生影響的主要因素有滑動(dòng)摩擦因數(shù)f、喉頸系數(shù)k、蝸輪輪齒(滾柱)半徑R、蝸輪齒數(shù)z2及傳動(dòng)副中心距A等。

1.2 傳動(dòng)效率求解模型

在活動(dòng)坐標(biāo)系中，設(shè)蝸桿、蝸輪在嚙合點(diǎn)p處的速度矢量分別為v1、v2，則蝸桿、蝸輪的功率Pw、Pg分別為

(9)

傳動(dòng)副的瞬時(shí)傳動(dòng)效率為

η=Pg/Pw

(10)

單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)在嚙合點(diǎn)p處瞬時(shí)傳動(dòng)效率為

(11)

式中：e1、e2、en分別為蝸輪輪齒活動(dòng)坐標(biāo)系的基向量。

在嚙合點(diǎn)p處，傳動(dòng)副的單齒瞬時(shí)傳動(dòng)效率ηu為瞬時(shí)傳動(dòng)效率η沿瞬時(shí)接觸線方向積分后的平均值，即

(12)

嚙合全齒高h(yuǎn)為

(13)

式中：hf、hfc分別為齒根高、齒根高系數(shù)，常規(guī)情況下兩者相等，且一般情況取1或0.8。

單齒平均傳動(dòng)效率ηp為傳動(dòng)副單齒瞬時(shí)傳動(dòng)效率ηu沿時(shí)間方向或蝸輪轉(zhuǎn)角方向積分后的平均值，即

(14)

式中：φ20、φ2e分別為蝸輪轉(zhuǎn)角起始位置、終止位置。

傳動(dòng)副多齒同時(shí)嚙合，設(shè)其同時(shí)嚙合的齒數(shù)為n(n為整數(shù))，其瞬時(shí)傳動(dòng)效率ηi、平均傳動(dòng)效率ηui分別為

(15)

(16)

式中：φ20i、φ2ei分別為第i齒蝸輪轉(zhuǎn)角起始點(diǎn)與終止點(diǎn)，且有：

(17)

式中：γ為齒距角，其值為360/z2；i值為1，2，3，…，n；φ201=-90-nγ/2。

2 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)效率分析

在計(jì)算多齒同時(shí)嚙合傳動(dòng)效率時(shí)，將同時(shí)嚙合的多個(gè)蝸輪輪齒視為一個(gè)整體，如圖4所示。蝸輪結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖5所示。假設(shè)同時(shí)嚙合的蝸輪輪齒數(shù)為4，則1—4號(hào)位置的蝸輪輪齒為一整體。當(dāng)1號(hào)位的輪齒轉(zhuǎn)動(dòng)到2號(hào)位時(shí)，4號(hào)位的輪齒同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)到5位，完成一個(gè)嚙合周期，即齒距角γ為14.4°，φ2的取值范圍為[-118.8°,-104.4°]。運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)所計(jì)算得到的傳動(dòng)效率即為傳動(dòng)副傳動(dòng)效率。

圖4 傳動(dòng)副運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖

圖5 蝸輪結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

假設(shè)單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)副由同一種材料加工而成，蝸桿為單頭蝸桿，主要參數(shù)及參數(shù)值如表1所示。采取單一變量法分析某個(gè)參數(shù)值變動(dòng)對(duì)傳動(dòng)效率影響，其他參數(shù)值固定為表1中值。

2.1 蝸輪轉(zhuǎn)角

圖6為傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合平均傳動(dòng)效率受蝸輪轉(zhuǎn)角φ2的影響曲線。可知：ηun-φ2曲線近乎為直線，傳動(dòng)副瞬時(shí)傳動(dòng)效率從嚙入至嚙出逐漸增大。當(dāng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)f分別取0.05、0.10、0.15、0.2時(shí)，嚙出時(shí)的瞬時(shí)傳動(dòng)效率比嚙入時(shí)分別增大了4.65%、7.63%、9.72%、11.27%。滑動(dòng)摩擦因數(shù)f越大，平均傳動(dòng)效率受蝸輪轉(zhuǎn)角φ2的影響就越大。同時(shí)可知，當(dāng)蝸輪轉(zhuǎn)角為恒定值時(shí)，滑動(dòng)摩擦因數(shù)f越大，傳動(dòng)副瞬時(shí)傳動(dòng)效率越小。

圖6 蝸輪轉(zhuǎn)角對(duì)瞬時(shí)傳動(dòng)效率的影響

2.2 滑動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率的影響

圖7為傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合平均傳動(dòng)效率受滑動(dòng)摩擦因數(shù)f的影響曲線。可知：在給定參數(shù)條件下，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率隨著滑動(dòng)摩擦因數(shù)f的增大而減小。當(dāng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)f分別為0.05、0.10、0.15、0.2，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率分別為75.29%、60.53%、50.67%、43.59%。滑動(dòng)摩擦因數(shù)f從0.05增大到0.2，平均傳動(dòng)效率降低了31.7%。由此可知，單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)的傳動(dòng)效率受滑動(dòng)摩擦因數(shù)影響較大。

圖7 滑動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

2.3 喉頸系數(shù)對(duì)傳動(dòng)效率的影響

圖8為傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合平均傳動(dòng)效率受喉頸系數(shù)k的影響曲線。可知：在給定參數(shù)條件下，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率隨著喉頸系數(shù)k的增大而減小。當(dāng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)f分別取0.05、0.10、0.15、0.2，喉頸系數(shù)k從0.30增大到0.50，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率分別降低了3.09%、4.93%、6.18%、7.07%。由此可知，滑動(dòng)摩擦因數(shù)f越大，平均傳動(dòng)效率受喉徑系數(shù)k的影響就越大。

圖8 喉頸系數(shù)對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

2.4 滾柱半徑對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

圖9為傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合平均傳動(dòng)效率受滾柱半徑R的影響曲線。可知：在給定參數(shù)條件下，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率隨著滾柱半徑R增大而略有減小。當(dāng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)分別取0.05、0.10、0.15、0.2，滾柱半徑R從5 mm增大到10 mm，傳動(dòng)副平均傳動(dòng)效率分別降低了0.71%、1.14%、1.44%、1.66%。由此可知，滑動(dòng)摩擦因數(shù)f越大，平均傳動(dòng)效率受滾柱半徑R的影響就越大。

圖9 滾柱半徑對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

2.5 蝸輪齒數(shù)對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

圖10為傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合平均傳動(dòng)效率受蝸輪齒數(shù)z2的影響曲線。可知：在給定參數(shù)條件下，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率隨著蝸輪齒數(shù)z2的增大而減小。當(dāng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)分別取0.05、0.10、0.15、0.2，蝸輪齒數(shù)每增大1，傳動(dòng)副平均傳動(dòng)效率分別降低1.00%、1.61%、2.02%、2.33%。由此可知，滑動(dòng)摩擦因數(shù)f越大，平均傳動(dòng)效率受蝸輪齒數(shù)z2的影響就越大。

圖10 蝸輪齒數(shù)對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

2.6 中心距對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

圖11為傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合平均傳動(dòng)效率受中心距A的影響曲線。可知：在給定參數(shù)條件下，傳動(dòng)副的平均傳動(dòng)效率隨著中心距A的增大而略有增大。當(dāng)摩擦因數(shù)分別取0.05、0.10、0.15、0.2，中心距A從160 mm增大到200 mm，傳動(dòng)副平均傳動(dòng)效率分別增大了0.28%、0.46%、0.58%、0.67%。由此可知，滑動(dòng)摩擦因數(shù)f越小，中心距越大，平均傳動(dòng)效率越高。

圖11 中心距對(duì)平均傳動(dòng)效率的影響

綜上所述，單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)效率隨著蝸輪轉(zhuǎn)角和中心距的增大而增大，隨著滑動(dòng)摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)的增大而減小，即蝸輪轉(zhuǎn)角和中心距越大，滑動(dòng)摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)越小，則傳動(dòng)效率越高。

3 單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)仿真優(yōu)化

3.1 建立優(yōu)化約束函數(shù)

建立如下目標(biāo)變量傳動(dòng)效率ηpn與設(shè)計(jì)變量喉頸系數(shù)k、滾柱半徑R、蝸輪齒數(shù)z2、中心距A、齒頂高系數(shù)hfa、齒根高系數(shù)hfc、同時(shí)嚙合齒數(shù)n間的函數(shù)關(guān)系。

ηpn=g(k,R,z2,A,hfa,hfc,n)

(18)

為避免傳動(dòng)副幾何結(jié)構(gòu)出現(xiàn)畸變，如蝸桿齒形變尖，同時(shí)滿足傳動(dòng)副安裝空間尺寸條件及傳動(dòng)平穩(wěn)性，各個(gè)幾何參數(shù)須滿足一定的約束條件。在此各幾何參數(shù)的約束范圍設(shè)定為

(19)

(20)

式中：cc為齒頂隙系數(shù)，取0.2或0.25，在此取0.2；s1、s2為中間變量。

對(duì)滾柱包絡(luò)端面嚙合蝸桿傳動(dòng)而言，其結(jié)構(gòu)優(yōu)化以傳動(dòng)效率最大化為優(yōu)化目標(biāo)。其約束函數(shù)為

(21)

3.2 仿真優(yōu)化計(jì)算

基于表1中的幾何參數(shù)，由式(17)計(jì)算得到傳動(dòng)效率值為83.2%，略高于常規(guī)蝸桿傳動(dòng)的傳動(dòng)效率。借助MATLAB，以傳動(dòng)效率倒數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，其中表2的傳動(dòng)效率分別為采用MATLAB優(yōu)化工具箱自帶的“fmincon”優(yōu)化指令和遺傳優(yōu)化算法模塊優(yōu)化運(yùn)行后的結(jié)果。

表2 優(yōu)化后的傳動(dòng)效率

由表2可知，當(dāng)n為4時(shí)，對(duì)其他參數(shù)值進(jìn)行適當(dāng)處理，得到最優(yōu)解與最優(yōu)值，分別為k=0.36，R=8.19 mm，A=179.7 mm，hfa=0.92，hfc=0.91，ηpn=86.4%，較采用表1中參數(shù)值，傳動(dòng)效率提高了3.2%。

4 結(jié)論

基于單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)理論，建立了傳動(dòng)效率數(shù)學(xué)計(jì)算模型，計(jì)算了傳動(dòng)副同時(shí)多齒嚙合情況下的瞬時(shí)傳動(dòng)效率及平均傳動(dòng)效率，分析了摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)及中心距等參數(shù)對(duì)傳動(dòng)副平均傳動(dòng)效率的影響，并以傳動(dòng)效率為優(yōu)化目標(biāo)采用MATLAB優(yōu)化運(yùn)行計(jì)算。研究結(jié)果顯示：

(1)單滾柱包絡(luò)端面蝸桿平均傳動(dòng)效率與摩擦因數(shù)、喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)呈負(fù)相關(guān)，與中心距呈正相關(guān)；

(2)摩擦因數(shù)對(duì)傳動(dòng)副平均傳動(dòng)效率影響最大，傳動(dòng)副主要幾何參數(shù)中蝸輪齒數(shù)對(duì)傳動(dòng)副平均傳動(dòng)效率影響最大，中心距對(duì)傳動(dòng)副平均動(dòng)效率影響最小。

(3)遺傳算法與指令“fmincon”所代表的算法優(yōu)化結(jié)果相近，且結(jié)構(gòu)優(yōu)化之后傳動(dòng)效率提升了3.2%。

(4)為了得到單滾柱包絡(luò)端面蝸桿傳動(dòng)較高的傳動(dòng)效率，除需要精加工外，還應(yīng)注意在確定中心距的情況下，喉頸系數(shù)、滾柱半徑、蝸輪齒數(shù)不宜過大。