為什么曲線是雙曲線

甘志國

(北京豐臺二中,北京 100071)

圖1圖象

圖2圖象

由以上解答及圖1,可以完整解答以上諸問(可先猜后證:先求出兩個焦點坐標,再用雙曲線的定義證明該曲線是雙曲線).

由后文定理1及圖1,還可得到下面的結論:

(2)令

①

下面給出四種證法.

②

由B>0,x>0及均值不等式,可得

③

由B>0,x<0及均值不等式,可得

④

再參見圖1,可證得欲證結論成立.

證法2把②式兩邊兩次平方,得

xy=Ax2+B(x2+y2≥4AB,B>0).

由均值不等式,可得

再參見圖1,可證得欲證結論成立.

兩邊平方,得

兩邊再平方,得

⑤

在該推導過程中:第二次平方是等價變形,第一次平方還不能確定是否是等價變形.所以還需證明⑤?②.

再由結論④及③,可得

②的左邊

再參見圖1,可證得欲證結論成立.

=±2β,

而可證得

證明同定理1的證明.