滲透模型思想 優化數學課堂

林功光

(福建省永泰縣葛嶺中學,福建 福州 350715)

模型思想是一種非常重要的數學思想.在初中數學課堂教學中,滲透模型思想不僅可以使抽象問題具體化、生動化,而且可培養學生的動手能力和數學思維能力.因此,教師要抓住初中階段學生思維發展的關鍵時期,在課堂上滲透模型思想,在潛移默化中培養學生的數學思想.在數學教學中,尤其要重視挖掘數學教材中隱含的模型思想,并用模型思想解決數學問題,讓學生真正感受到模型思想的應用價值.

1 初中數學滲透模型思想的原則

結合初中數學課堂教學實際,從學生基本學情來看,初中數學課堂教學中滲透模型思想應遵循以下原則.第一,數學化原則.模型思想的本質是將數學問題具體化為生活問題,并利用數學方法解決生活問題.因此,在數學課堂教學中滲透模型思想要明晰數學與生活的關系,引導學生運用數學思維分析、理解生活問題,從而為建模教學奠定基礎.第二,注重過程原則.思想的滲透屬于意識活動范疇,要注重思維體驗,而非結果.因此,在數學教學中要讓學生全程參與假設問題、搭建模型、求解模型、模型解釋等活動,通過親身實踐改變學生思維認知,使其更加深入理解模型思想的本質.第三,長期性原則.思想的形成是一點一滴積累而來的,并非是一蹴而就.在數學教學中,教師要重視滲透模型思想,引導學生領悟模型思想,并形成長效機制.

2 滲透模型思想,優化數學課堂措施

2.1 創設情境,感知模型

數學知識的理論性、抽形象決定了數學課堂比較枯燥、單一,學生容易失去學習興趣[1].感知模型是學生接觸模型思想的第一步,若無法改變數學課堂的學習氛圍,調動學生的主觀能動性,勢必會影響學生對數學建模的學習.因此,教師應積極創設生動有趣的教學情境,激發學生探索數學模型的興趣.

例如,在“圓”第1課時的教學中,為了活躍課堂學習氛圍,搭建生活問題與數學知識之間聯系的紐帶,教師可設計如下游戲情境:讓學生站成一個圓形,并在中心放置布娃娃,然后邀請學生套圈,學生的學習興趣就能很快被調動起來.游戲結束后,教師提出問題:這個游戲對所有同學是公平的嗎?為什么?正處于思維活躍階段的學生聽到這個問題后,會自動將其與圓的數學知識聯系在一起,初步形成用數學模型解決生活問題的意識.接下來,教師可以繼續提問:你能用之前所學圓的知識及生活經驗回答上述問題嗎?進一步加深學生對圓的形成過程的理解,并引出有關圓的定義.通過上述案例可以發現,創設教學情境的主要目的是在活躍課堂學習氛圍,刺激學生感官,使其主動探索問題,感知數學模型與實際問題之間的聯系,初步形成模型認知[2].

2.2 知識授課,構建模型

在學生基本具備模型認知能力時,教師可繼續強化模型思想,通過設計遞進式的問題引導學生深入思考,采用小組合作、自主學習的方式促使學生參與到數學模型構建活動中,從而達到深化模型思想的目的.需要注意的是,在模型構建過程中,教師要給予學生足夠的思考時間,使其能在意識活動范疇將抽象的模型思想轉化具體的實踐行為,并再次通過實踐行為使模型思想根植于腦海中.在這一過程中,教師的主要作用是引導、啟發學生深入思考.

2.2.1圓的集合定義

仍以上述圓的教學為例,在完成情境創設后,教師可設計以下問題串:

(1)你是如何畫圓的?你能想到幾種畫圓的方法?向你的同伴展示畫圓的過程.

(2)觀察自己和同伴的畫圓過程,說出如何畫圓,如何用數學符號表示?

在學生展示畫圓過程后,教師提問:如圖1所示,用圓規畫圓和用短線畫圓有什么不同?這時學生就會用數學符號解釋用圓規、短線畫圓的意義.可能學生無法準確表達,所以教師可引導學生進行總結、概括:用圓規畫圓的關鍵是確定一個定點,用短線畫圓的關鍵是確定一個固定的距離.從畫圓過程可以看出:①圓上各點到定點的距離等于定長;②到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上.因此,可得到圓的集合定義:圓心為O,半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合.

圖1 短線畫圓與圓規畫圓

2.2.2聯系生活,構建模型

建立圓的定義后,教師可引導學生體驗圓模型與生活實際問題之間的聯系,從而促使學生形成更牢固的模型意識.問題1:回想我們玩的套圈游戲,每個同學到布娃娃的距離是不是一樣?每個同學是不是可以看成圓上的點,每個同學到布娃娃的距離是不是代表圓上所有點到定點的距離.由此,你能總結出圓的集合定義嗎?問題2:如果將圓形車輪設計為正方形車輪,會出現什么情況?在提出問題后,教師應給予學生一定的思考時間,并適當地引導學生探索圓的概念及要素,感受生活與數學的緊密聯系.針對這兩個問題,教師還可以充分利用多媒體,動畫演示套圈游戲實物圖及其對應的幾何圖形,并展示其動態變化過程,讓學生充分感受生活問題到數學問題的轉化過程.

2.2.3圓的有關定義

為了使學生理解圓的有關定義,教師可先出示圖2,并提出問題:你能說出弦、直徑、弧、半圓的定義嗎?然后讓學生以小組合作學習的方式進行討論,并選派出一名代表結合圖形進行交流.最后,教師引導學生歸納總結,得到弦、直徑、弧、半圓的定義.

圖2 圓示意圖

2.2.4聯系生活,構建模型

在完成教學內容后,教師可引導學生運用所學數學知識解決生活實際問題,并在解決問題過程構建數學模型.

問題1:為了證明圓有沒有最長的弦,小明、小強進行了大量的測量,最后得到了“直徑是圓中最長的弦”這一結論,你認為他們的結論對嗎?你能用其它方法證明嗎?

問題2:聯想蒙古包、圓形蚊帳支撐、自行車車輪中的鋼條等,這些實物用到了圓的相關知識了嗎?能將其結構模型簡化為圓形嗎?

問題3:如圖3所示的地形,在A地正北300米的B處有一變電設施,正西400米的C處有一幢民房,在BC的中點D處有一古建筑.因施工需要,必須在A進行爆破.為了保證民房、變電設施、古建筑不會遭到破壞,問爆破半徑應控制在什么范圍?如果BC是一條馬路,且路上有行人和車輛,為了避免爆破影響到人和車輛,則爆破半徑應如何控制?

圖3 地形圖

上述問題既可以讓學生認識到圓的相關知識在生活中有著重要的應用,也能滲透模型思想,加深學生對數學模型的認識[3].最重要的是能夠改變圓的理論知識的抽象性,降低學生的學習難度.學生在探究問題1時,會自動畫圓,并進行測量、分析、總結.在探究問題2時,則會將具體的實物轉化為平面圖形,并在思維層面建立兩者之間的聯系,然后運用所學知識解答問題.解決問題3時,學生會將生活問題轉化為數學問題,并能夠綜合運用勾股定理、圓的相關知識、中線等數學知識解決問題.如圖3,根據題意可確定爆破點位置為A.如果民房、變電設施、古建筑不會受到爆破影響,則要保證B,C,D三點在以點A為圓心、半徑為r的圓的外部.即點A到三點的距離要大于半徑r.這時生活問題就轉化成了數學問題.根據勾股定理可得到AC2+BC2+=AC2,其中AC=400米,BC=300米,從而得到BC=500米.由根據中點知識,BD=250米.依據直角三角形斜邊中線定理,可得到AD=250米.也就是說半徑r要小于250米,才能保證B,C,D三點在以A為圓心、半徑為r的圓的外部,即爆破半徑控制在250米以內,才能保證爆破不會影響到民房、變電設施、古建筑.如果BC是一條馬路,且路上有行人和車輛,保證爆破不會影響行人和車輛的最小距離應為點A到直線BC的距離.根據直角三角形高線的性質可計算得到其最小距離應為150米,即保證行人和車輛不受影響的最小爆破半徑為150米.在整個問題解決的過程中,學生會反復進行生活實際問題與數學模型之間的轉化、求解、解釋,其模型思想也會不斷加深,特別是其模型應用能力也會得到鍛煉、提升,非常有利于學生對其它數學模型的學習和應用.

2.3 課堂小節,完善模型

在引導學生完成感知模型、構建模型、解決問題之后,教師應當對學生所學知識進行梳理、總結,并突出學生主體作用,使其自主完成模型結構體系的構建,形成模型思維體系.

首先,教師可引導學生共同參與知識回顧,促使學生進一步鞏固所學知識,加深對數學模型的認識;其次,教師可讓學生自主利用思維導圖梳理知識,理清圓的集合定義、弦、弧、等圓、等弧之間的邏輯關系,使學生系統且有條理地掌握數學知識,并在這一過程中實現圓的理論知識與生活問題之間的相互轉化,從而使學生真正理解圓的數學模型的應用意義;最后,在學生歸納完成后,教師進行點評,及時糾正學生的認識誤區,確保學生能完全掌握所學知識.

2.4 作業設計,鞏固模型

為了深化學生的模型思想,鞏固學生模型認識及應用能力,教師應創新作業設計,注重實踐性、探索性和層次性作業,并給予學生多元化的評價.例如,教師可設計如下作業:請同學們查找資料,搜集圓在生產生活中的應用.

總之,在初中數學課堂中滲透模型思想是落實新課程標準的有效措施.教師應在嚴格遵循模型思想滲透原則的基礎上,持續優化課前、課中、課后教學,保證每個環節都能滲透數學模型,促使學生不斷感知、體驗、參與模型應用,最終形成模型思想.