分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳芳香

(福建省莆田第二中學(xué),福建 莆田 351100)

分類討論思想的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程,所以,教師要樹立正確的培養(yǎng)意識(shí),采用有效的培養(yǎng)方法.尤其是要建立長(zhǎng)效培養(yǎng)機(jī)制,一步步增強(qiáng)學(xué)生的分類討論意識(shí),直至形成分類討論能力.這也意味著教師要改變現(xiàn)有教學(xué)模式,從分類討論思想的內(nèi)在規(guī)律入手,設(shè)計(jì)適合發(fā)展學(xué)生分類討論思維的學(xué)習(xí)活動(dòng).尤其是要抓住解題教學(xué)時(shí)機(jī),滲透分類討論思想,進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng).

1 分類討論思想在代數(shù)解題中的應(yīng)用

與代數(shù)有關(guān)的分類討論題型比較簡(jiǎn)單.主要類型有絕對(duì)值、平方根、完全平方式等.這類題型所給條件比較清晰,且計(jì)算難度也不大[1].可以說(shuō),這是最簡(jiǎn)單的分類討論.學(xué)生只要熟練掌握絕對(duì)值、平方根、完全平方式的概念和性質(zhì),就可以完成解題.

1.1 與絕對(duì)值有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題

實(shí)數(shù)是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一.實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)、0.無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù).與絕對(duì)值有關(guān)的代數(shù)問(wèn)題本身就具有明顯的分類思想,在解題時(shí)需進(jìn)行分類討論.

例1 若|a|=1,|b|=4,且ab<0.求a+b的值.

解析本題主要考查與絕對(duì)值有關(guān)的實(shí)數(shù)的運(yùn)算,其主要解題方法就是分類討論.本題的主要解題步驟為:第一步,確定分類對(duì)象.題干只給出了兩個(gè)參數(shù)a,b,且已知a,b的絕對(duì)值,所以分類對(duì)象就是參數(shù)a,b.第二步,分類.根據(jù)題干ab<0,可知a,b異號(hào).若a<0,則b>0;若a>0,則b<0.第三步,計(jì)算.當(dāng)a<0,b>0時(shí),a=-1,b=4,所以a+b=3.當(dāng)a>0,b<0時(shí),a=1,b=-4,所以a+b=-3.第四步,總結(jié).綜合上述兩種情況,可知a+b=3或-3.

1.2 含有平方的代數(shù)式問(wèn)題

一個(gè)數(shù)的平方是定值,但是一個(gè)數(shù)的平方根有兩個(gè)互為相反數(shù)的值.所以,在含有平方的代數(shù)式問(wèn)題中需要分類討論開方得到的數(shù).

2 分類討論思想在方程中的應(yīng)用

在求解與一元一次方程、二元一次方程、分式方程方程有關(guān)的某些應(yīng)用題時(shí)都需要分類討論[2].

例3 “五一”假期期間,某商城推出了一項(xiàng)購(gòu)物優(yōu)惠活動(dòng):一次性購(gòu)物不高于100元時(shí)不享受優(yōu)惠;高于100元但低于300元時(shí),享受9折優(yōu)惠.不低于300元?jiǎng)t享受8折優(yōu)惠.李某到該商場(chǎng)購(gòu)物,總共付款兩次.一次是80元,一次是252元,那么如果改為在商場(chǎng)一次性購(gòu)買,則需要支付多少錢?

解析本題需分類討論求解.第一步,確定分類對(duì)象.按照題干給出的信息,需要對(duì)一次性購(gòu)物的金額進(jìn)行分類:一次性購(gòu)物不高于100元,高于100元但低于300元,不低于300元.第二步,分類.假設(shè)一次性購(gòu)物金額為x,付款金額為y.當(dāng)x≤100時(shí),y=x;當(dāng)100

從本題求解過(guò)程可以看出,利用分類討論思想解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到分類對(duì)象,并能夠精準(zhǔn)分類計(jì)算.只有這樣才能得到準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果,否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.簡(jiǎn)而言之,利用分類討論思想解題時(shí)一定要準(zhǔn)確確定分類對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn).

3 分類討論思想在不等式中的運(yùn)用

在解決不等式問(wèn)題時(shí),當(dāng)遇到不等式條件不明確、結(jié)論不確定、題干所含參數(shù)范圍不確定等情況時(shí),就需要進(jìn)行分類討論[3].

3.1 不含參數(shù)的不等式問(wèn)題

在不含參數(shù)的不等式問(wèn)題中,若不等式中含有絕對(duì)值或平方,在解題時(shí)必須進(jìn)行分類討論.

例4 解不等式|x-4|-|2x-3|≤1.

從本題的求解過(guò)程可以看出,含絕對(duì)值的不等式問(wèn)題,分類情況比較多,很容易出現(xiàn)分類錯(cuò)誤或計(jì)算錯(cuò)誤.所以在解決這類問(wèn)題時(shí),一定要清晰地羅列出分類標(biāo)準(zhǔn),這樣才能準(zhǔn)確求解.

3.2 含參數(shù)的不等式問(wèn)題

利用分類討論思想解決含參數(shù)的不等式問(wèn)題的關(guān)鍵是要分析參數(shù),對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類.

從本題的求解過(guò)程可以看出,對(duì)于一些復(fù)雜的含參數(shù)的不等式問(wèn)題,在解題時(shí)一定要從題干出發(fā),依據(jù)自變量范圍準(zhǔn)確確定參數(shù)范圍.

4 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用

在解決與函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),當(dāng)分析變量之間的函數(shù)關(guān)系是否滿足條件或計(jì)算結(jié)果是否符合實(shí)際情況時(shí),一般情況下需利用分類討論思想.

例6 如果一次函數(shù)y=ax+b的自變量x的取值范圍為-2≤x≤6,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的范圍為-11≤y≤9.求該函數(shù)的解析式.

總之,分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的應(yīng)用.因此,教師在平時(shí)教學(xué)中要重視分類討論思想,在解題教學(xué)中有意識(shí)滲透分類討論思想,強(qiáng)化學(xué)生的分類討論意識(shí),提高學(xué)生解題能力,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).