用GGB可視化探究一道新高考題

何 英

(福建省福清龍西中學,福建 福清 350315)

現代的教學方式只有在正確的教育理念的指導下,并且在相關教學資源的支持下,才有可能既充分發揮教師的主導作用,又能突出體現學生的學習主體地位.本文在可視化視角下進行研究,通過GeoGeBra數學可視化軟件,試圖在數學建模活動與數學探究活動中更細致地對高中數學課進行設計研究.

解析幾何中圓錐曲線的綜合問題歷來是教學中的一大難點,縱觀全國高考數學卷,我們發現圓錐曲線的壓軸題都有一定的難度,尤其是定長定點問題對學生的直觀想象素養要求更高.為了突破這一難點,教學中利用GeoGeBra[1]數學可視化軟件的動態演示功能,幫助學生直觀感知定長定點,為學生理解圓錐曲線問題提供梯子,打造生動的教學課堂,提升學生的素養,同時提高課堂教學的生動性、實效性.

1 試題呈現

題目(2022年全國高考數學甲卷第20題)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點．當直線MD垂直于x軸時,|MF|=3．

(1)求C的方程;

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當α-β取得最大值時,求直線AB的方程．

2 解析探究

2.1 分析驗證第(1)問

分析本題第(1)問通過直線MD垂直于x軸時,點M的橫坐標與點D的橫坐標相等,再根據Rt△MDF中勾股定理得出點M的縱坐標,及點M在拋物線上就比較容易求出P值,從而求出C的方程.

【可視化演示驗證】

②拖動M,當M的橫坐標為2時,此時MD垂直與x軸,MF的長度顯示為3(如圖1),所有條件結論均成立,驗證完成.

圖1 可視化演示驗證示意圖

2.2 分析驗證第(2)問

解析直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．由(1)知F(1,0),D(2,0),由點的坐標可以設M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

又N,D,B三點共線,則KND=KBD,

【可視化演示過程】

①利用工具欄的直線,點M,D做直線,取直線與拋物線交點A;利用工具欄的直線,點N,D做直線,取直線與拋物線交點B;利用工具欄的線段,點A,B做直線;

②利用工具欄的角度,點D,F,M得到角α即MN的傾斜角α;

③在AB右側x軸上取一點C(軟件量角需要),取AB與x軸的交點E;利用工具欄的角度,點C,E,B得到角β即直線AB的傾斜角β;

④輸入命令γ=α-β,輸入命令S=tanγ,

⑤隱藏我們不需要的對象

⑥滑動點M進行動態演示,如圖2觀察S值的變化與γ值的變化,發現M從左往右移動的過程,S與γ先慢慢增大再慢慢減小,通過值的變化找到最大值:S=tanγ≈0.35.

圖2 觀察S值的變化與γ值的變化示意圖

圖2

3 拓展探究

3.1 拋物線上動點M,N是否影響定點E

實驗1拉動點M,在動態演示的過程中,點A,B都會隨著點M的移動而移動,而直線AB與x軸的交點E卻沒有移動(如圖3),為了印證這個發現,將點E坐標顯示出來觀察.

圖3 觀察直線AB與x軸的交點示意圖

結論1:拋物線上動點M,N不影響定點E.

3.2 拋物線的特征量P對定點的影響

實驗2控制滑動條P的值,如圖4,當P值為4時,點E(8,0);當P值為3.2時,點E(6.4,0);當P值為-4.5時,點E(-9,0).直線AB過定點(2p,0).

結論2:拋物線C:y2=2px的焦點為F,點D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點．直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,直線AB過定點(2p,0).

4 注重信息技術與數學課程的深度融合

可視化不僅僅是通過動畫的方式來對數學知識進行展示說明,而且已經成為培養數學推理能力的重要手段[2].數學作為具有高度抽象性的一門學科,數形結合能夠解決很多問題,還能利用信息技術深入理解問題本質.但是大多數軟件對于圖像的展示還停留在靜態圖像上,而GGB將代數與幾何結合,隨著參數的變化將圖像變化動態展示出來,更有助于我們理解發現探究.教師應注重信息技術與數學課程的深度融合,實現傳統教學手段難以達到的效果,合理利用GGB深入理解問題本質,以此提高數學教學的有效性[3].通過控制變量讓學生觀察、發現、探究,使抽象的數學知識變得形象生動,有助于培養學生的思維能力、直觀想象能力等.鼓勵學生運用信息技術學習、探索和解決問題.能夠熟練使用GeoGebra這款集合了眾多軟件所長的軟件,幫助教師提升備課效率,提高教學質量,具有一定的實際意義[4].