用GGB可視化探究一道新高考題

何 英

(福建省福清龍西中學(xué),福建 福清 350315)

現(xiàn)代的教學(xué)方式只有在正確的教育理念的指導(dǎo)下,并且在相關(guān)教學(xué)資源的支持下,才有可能既充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,又能突出體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位.本文在可視化視角下進(jìn)行研究,通過(guò)GeoGeBra數(shù)學(xué)可視化軟件,試圖在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中更細(xì)致地對(duì)高中數(shù)學(xué)課進(jìn)行設(shè)計(jì)研究.

解析幾何中圓錐曲線的綜合問(wèn)題歷來(lái)是教學(xué)中的一大難點(diǎn),縱觀全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷,我們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的壓軸題都有一定的難度,尤其是定長(zhǎng)定點(diǎn)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)要求更高.為了突破這一難點(diǎn),教學(xué)中利用GeoGeBra[1]數(shù)學(xué)可視化軟件的動(dòng)態(tài)演示功能,幫助學(xué)生直觀感知定長(zhǎng)定點(diǎn),為學(xué)生理解圓錐曲線問(wèn)題提供梯子,打造生動(dòng)的教學(xué)課堂,提升學(xué)生的素養(yǎng),同時(shí)提高課堂教學(xué)的生動(dòng)性、實(shí)效性.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷第20題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3．

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程．

2 解析探究

2.1 分析驗(yàn)證第(1)問(wèn)

分析本題第(1)問(wèn)通過(guò)直線MD垂直于x軸時(shí),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)相等,再根據(jù)Rt△MDF中勾股定理得出點(diǎn)M的縱坐標(biāo),及點(diǎn)M在拋物線上就比較容易求出P值,從而求出C的方程.

【可視化演示驗(yàn)證】

②拖動(dòng)M,當(dāng)M的橫坐標(biāo)為2時(shí),此時(shí)MD垂直與x軸,MF的長(zhǎng)度顯示為3(如圖1),所有條件結(jié)論均成立,驗(yàn)證完成.

圖1 可視化演示驗(yàn)證示意圖

2.2 分析驗(yàn)證第(2)問(wèn)

解析直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．由(1)知F(1,0),D(2,0),由點(diǎn)的坐標(biāo)可以設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

又N,D,B三點(diǎn)共線,則KND=KBD,

【可視化演示過(guò)程】

①利用工具欄的直線,點(diǎn)M,D做直線,取直線與拋物線交點(diǎn)A;利用工具欄的直線,點(diǎn)N,D做直線,取直線與拋物線交點(diǎn)B;利用工具欄的線段,點(diǎn)A,B做直線;

②利用工具欄的角度,點(diǎn)D,F,M得到角α即MN的傾斜角α;

③在AB右側(cè)x軸上取一點(diǎn)C(軟件量角需要),取AB與x軸的交點(diǎn)E;利用工具欄的角度,點(diǎn)C,E,B得到角β即直線AB的傾斜角β;

④輸入命令γ=α-β,輸入命令S=tanγ,

⑤隱藏我們不需要的對(duì)象

⑥滑動(dòng)點(diǎn)M進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示,如圖2觀察S值的變化與γ值的變化,發(fā)現(xiàn)M從左往右移動(dòng)的過(guò)程,S與γ先慢慢增大再慢慢減小,通過(guò)值的變化找到最大值:S=tanγ≈0.35.

圖2 觀察S值的變化與γ值的變化示意圖

圖2

3 拓展探究

3.1 拋物線上動(dòng)點(diǎn)M,N是否影響定點(diǎn)E

實(shí)驗(yàn)1拉動(dòng)點(diǎn)M,在動(dòng)態(tài)演示的過(guò)程中,點(diǎn)A,B都會(huì)隨著點(diǎn)M的移動(dòng)而移動(dòng),而直線AB與x軸的交點(diǎn)E卻沒(méi)有移動(dòng)(如圖3),為了印證這個(gè)發(fā)現(xiàn),將點(diǎn)E坐標(biāo)顯示出來(lái)觀察.

圖3 觀察直線AB與x軸的交點(diǎn)示意圖

結(jié)論1:拋物線上動(dòng)點(diǎn)M,N不影響定點(diǎn)E.

3.2 拋物線的特征量P對(duì)定點(diǎn)的影響

實(shí)驗(yàn)2控制滑動(dòng)條P的值,如圖4,當(dāng)P值為4時(shí),點(diǎn)E(8,0);當(dāng)P值為3.2時(shí),點(diǎn)E(6.4,0);當(dāng)P值為-4.5時(shí),點(diǎn)E(-9,0).直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0).

結(jié)論2:拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn)．直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0).

4 注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合

可視化不僅僅是通過(guò)動(dòng)畫的方式來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行展示說(shuō)明,而且已經(jīng)成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力的重要手段[2].數(shù)學(xué)作為具有高度抽象性的一門學(xué)科,數(shù)形結(jié)合能夠解決很多問(wèn)題,還能利用信息技術(shù)深入理解問(wèn)題本質(zhì).但是大多數(shù)軟件對(duì)于圖像的展示還停留在靜態(tài)圖像上,而GGB將代數(shù)與幾何結(jié)合,隨著參數(shù)的變化將圖像變化動(dòng)態(tài)展示出來(lái),更有助于我們理解發(fā)現(xiàn)探究.教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果,合理利用GGB深入理解問(wèn)題本質(zhì),以此提高數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性[3].通過(guò)控制變量讓學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、探究,使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象生動(dòng),有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、直觀想象能力等.鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)學(xué)習(xí)、探索和解決問(wèn)題.能夠熟練使用GeoGebra這款集合了眾多軟件所長(zhǎng)的軟件,幫助教師提升備課效率,提高教學(xué)質(zhì)量,具有一定的實(shí)際意義[4].