高中數學解題教學中邏輯思維的培養
——以數列解題教學為例

王開江

(貴州師范大學附屬中學,貴州 貴陽 550001)

數列是高中數學中較為復雜、抽象的一個板塊.在數列問題的解答過程中,需要學生具有較強的分析能力與綜合能力,這些能力則是學生邏輯思維的體現.所以解題教學中需要對學生的邏輯思維進行培養,從而提升學生對數學知識的理解.因此就需要教師在教學的過程中,采用更加積極有效的教學方式來提升學生的邏輯思維.下文將通過例題解析的方式來說明解題教學中的邏輯思維培養.

1 總結提煉求數列的前n項和的方法培養邏輯思維能力

例1設數列{an},an=n·2n,求數列{an}的前n和Sn.

方法1錯位相減法,由Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n

等式兩邊同時乘以2,2Sn=1·22+2·23+3·24+4·25+…+(n-1)·2n+n·2n+1

由錯位相減得 -Sn=21+22+23+24+25+…+2n-n·2n+1,則Sn=(n-1)·2n+1+2

方法2裂項相消法,由an=n·2n=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n

故Sn=0·22-(-1)·21+1·23-0·22+2·24-1·23+…+(n-1)·2n+1-(n-2)·2n

所以Sn=(n-1)·2n+1+2

評析本例以等差和等比數列為背景,利用錯位相減法解決問題,也可以用裂項相消法化簡求和式子,讓學生關注通項公式的結構特征,又讓學生體會通性通法解題的優越性,還體現一題多解的解題思維的發散性.

2 利用一題多解求通項公式或證明不等式拓展學生的邏輯思維能力

在解題過程中,要善于發現試題的內涵與外延,抓住試題題干條件與結論,尋找知識與問題的內在聯系,確定解題路徑,形成一題多解的解題思路,培養學生發散性思維.學生可以從多角度、多途徑尋求解決問題的方法,開拓解題思路.教師在教授和引導學生解題的過程中,采用“一題多解”數學思維來拓寬學生的解題策略,在遇到新問題時,不畏困難,堅決挖掘出新舊知識間內在聯系,養成創新習慣[1],這樣就有利于提升學生的分析解決問題的能力,加強了學生的解題素養.

例2設數列{an}的前n和為Sn,2Sn=3an-n

(1)求數列{an}的通項公式;

評析本小問從不同的知識角度,應用到公式法、累加法、構造法等解題方法,抓住試題的本質,整合知識點,利用一題多解的解題技巧,讓學生拓展思路,培養發散性思維,體會和積累解題的樂趣和技巧.

評析本小問涉及的是不能求和的數列求和,采用先放縮,再求和,最后再放縮得到證明問題求解的思路,本題可以采用糖水不等式放縮、降次放縮、因式分解放縮,甚至可用二項式定理展開來放縮,也可以用數學歸納法證明不等式,加深了學生對解決這類問題的理解,培養學生的發散性思維.

3 利用化歸思想構造新數列提升學生的邏輯思維能力

很多數列求通項公式都是以遞推公式形式存在,引導學生分析遞推公式結構特征,將它進行適當變形.如兩邊同時加減乘除一個數,兩邊同時平方、開方、取對數、取倒數等等,利用化歸和轉化思想,采用整體換元思維,將數列構造成新的等差或等比數列,或者構造成能累加、累乘的形式,即可使問題得解,甚至可用待定系數法、特征方程法或不動點法來求數列的通項公式.這樣,極大地提高了數列的求解能力,培養了學生邏輯思維素養,下面只說明等式兩邊同除問題.

例3在數列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1,求an.

評析這題主要考查對等差數列、等比數列的掌握情況,利用整體換元思想,將非等差數列或非等比數列轉化成等差數列或等比數列,利用等差及等比數列的通項公式求出通項,再解出an即可.通過對不同題型的講解和歸納,能夠讓學生對數列的相關問題有更加直觀的認識,更加深刻地體會等差數列和等比數列的內涵和本質,真正讓學生對等差數列和等比數列能夠有靈活解題的感受.

4 利用觀察歸納猜想培養學生的邏輯思維能力

數學中有各種各樣的猜想,如著名的哥德巴赫猜想、費馬猜想等等,都是由某一類事物的部分對象具有某些特征,推出該事物的全部對象都具有這些特征,或者由個別事實概括出一般結論的歸納推理[2],一般是從具體問題出發,觀察、分析、比較、聯想,歸納類比,提出猜想,最后再證明.

評析這個例題,通過計算前四項,觀察歸納出通項公式,再用數學歸納法證明猜想.當然,該題也可以兩邊取倒數構造等差數列求解.我們在邏輯思維培養教學的過程中,可以通過觀察、歸納、猜想的方式對學生進行邏輯思維的培養.

綜上所述,文章通過數列的相關知識對高中數學解題教學中邏輯思維的培養進行了闡述,為了更好地培養學生的邏輯思維,可以通過總結提煉求數列的前n項和的方法,利用化歸思想構造新數列求通項公式,借助一題多解求通項公式或證明不等式拓展學生的邏輯思維,利用觀察歸納猜想發現問題,找到規律再通過數學歸納法證明,從而達到提高解題能力、培養學生的數學邏輯思維的目的.