基于“建構主義學習理論”的教學設計研究
——以“直線的點斜式方程”為例

邵 慧

(江西師范大學,江西 南昌 330022)

建構主義提倡讓學生有更多的機會去“暴露自己”,即學生有更多表述數學的機會.對不同的觀念做出辨析,對相同觀念進行類比,從而實現意義賦予.本文以北師大版本必修第一冊數學第一章《直線與圓的方程》的第三節中的“直線的點斜式方程”為例,基于學生已有的概念框架,合理預設,促進知識結構的分化、擴展和重組[1].

1 學情分析

1.1 學生起點能力分析

學生在上一節已經學會用代數法來表示直線斜率,這給新的觀念——直線的點斜式方程提供了探索的前提條件.就形式而言,點斜式方程只是一個表達式,其運用和推導過程也并不復雜.但是這是解析幾何的開端,對以后的數學“文化繼承”有著不可估量的作用[2],所以探索直線的點斜式方程的過程就顯得非常重要.

1.2 學習行為分析

學生已經有部分推理能力的素養,但其邏輯推理的嚴密性還有待提高,且存在部分同學自覺性差,計算能力較差,甚至不樂于動手.

2 教學目標

(1)掌握確定一條直線的兩要素:點和方向.掌握直線的點斜式,明白斜截式方程和點斜式方程的特殊關系;

(2)充分體驗直線的點斜式方程的探索過程,理解直線和方程之間的聯系,滲透數形結合等數學思想;

(3)從發展聯系的角度看問題,聯想直線的斜截式方程與一次函數的關系,理解數學知識之間是相互滲透、相互繼承的觀點.

3 教學重難點

【教學重點】 直線的點斜式方程.

【教學難點】 直線和方程的對應關系的理解.

4 學習過程

4.1 復習導入

問題1:通過之前的學習,我們知道在平面中確定一條直線需要哪些幾何條件嗎?

設計意圖:溫故而知新,學生回憶確定一條直線需要兩點或者一個方向和一點即可,從而為求直線的點斜式方程做好鋪墊.

問題2:設直線l經過定點P(0,3),斜率為 3,請寫出直線l上另一個點的坐標.

設計意圖:學生得出的答案可能不盡相同.教師接著引導:同學們能不能將所有的答案進行統一定義呢?即如何寫出直線l上所有點的坐標?怎樣表示直線上所有的點呢?用數字能表示所有的動點嗎?

4.2 小組展示,增興強思

活動1:小組討論結束,同學們開始踴躍表達自己的想法吧!

設計意圖:給予學生充分的時間思考,讓學生表述數學,激發學生對數學的求知欲.學生開始表達自己的處理方法.通過有序實數對的方式,假設直線上的另一點為(x,y),這樣就可以定義斜率了.

問題3:同學們已經用斜率k將直線上的任意一點Q(x,y)和已知的點P(0,3)聯系起來了,大家現在一起觀察這個式子,可以對其進行適當的變形,大家又會有什么不一樣的發現嗎?

設計意圖:布魯納說過:“以最近發展區作為教師加入的空間,為學生提供支持,促使學生主動而有效的學習.”根據前面所學得知識,如果x=0,則斜率不存在,此時可得出直線x=0;如果x≠0,學生開始給這個式子變形得出y-3=k(x-0)進而有y-3=kx,也即y=kx+3

4.3 拓展推廣,形成概念

問題4:觀察y=kx+3,P(0,3),Q(x,y) ,它們之間有什么關系呢?

設計意圖:學生發現P(0,3)滿足方程y=kx+3.同時,直線上任意一點的坐標Q(x,y)都滿足方程y=kx+3.可以驗證,滿足該方程y=kx+3的解的坐標表達形式的點也在直線上,所以把方程y=kx+3就叫做直線的方程.

4.4 依托特殊,完善猜想

問題5:現在老師繼續將這個問題一般化:已知直線l經過點P(x0,y0),且斜率為k,同學們可否利用上述方法求出直線l(圖1)的方程呢?

圖1 基本直線型

方程y-y0=k(x-x0)稱為直線方程的點斜式.

設計意圖:在學生原有的知識結構中不斷擴充重組,實現“文化繼承”的過程.在此環節上,學生經歷特殊到一般的思想過程,體驗數學思想,得出直線的點斜式方程.

4.5 知識遷移,再探新知

問題6:特殊地,當直線l的斜率不存在(圖2)或者k=0時(圖3),同學們可以快速寫出直線l的方程嗎?

圖2 豎直直線型 圖3 平行直線型

問題7:若直線l(圖4)經過點M(0,b)且斜率為k,所以該直線方程l的點斜式為?

圖4 一般直線型

設計意圖:根據直線的點斜式推導過程進一步探究直線的斜截式.這不僅促進學生已有知識的增長,同時也讓學生主動建構了知識結構.

4.6 歸納總結,形成概念

直線的點斜式方程:y-y0=k(x-x0)

直線的斜截式方程:y=kx+b

注:斜率必須存在;一點一斜率.

設計意圖:總結出概念,注意細節辨析.

4.7 例題講解,加深理解

例1 在同一平面直角坐標系中做出以下直線

y=2,y=x+2,y=-x+2,y=3x+2,y=-3x+2

這些直線有什么共同特點?能否用一個方程來表示它們呢?

例2 在同一平面直角坐標系中做出以下直線

y=2x,y=2x+1,y=2x-1,y=2x+4,y=-3x+2

這些直線有什么共同特點?能否用一個方程來表示它們呢?

例3 當取任何實數值時,

(1)直線y=kx+1恒過點

(2)直線y=k(x+1)恒過點.

(3)直線y-2=k(x-4)恒過點

(4)直線y=kx-3k+2恒過點

設計意圖:例1為研究方程y=kx+2作鋪墊;例2為研究方程y=2x+b作鋪墊;例3進一步鞏固所學知識.

4.8 歸納小結,能力提升

(1)通過本節課的學習,你掌握了哪些知識?

(2)本節課有哪些數學思想方法?

(3)通過本節課的學習,你對哪些題目有新的認識?

設計意圖:課堂小結是教學過程中重要環節之一,前兩個問題是對本節課的思維提煉,有助于學生形成良好的認知結構,掌握科學的數學思想方法.問題3主要目的在于培養學生“發展”的能力,是對“直線的點斜式方程”的延續.

5 建構主義學習理論的設計思考

5.1 在數學情境中發展學生的人格素養

好的數學情境不僅能引發學生的思考,而且有利于課堂的進行.本文從學生已有知識經驗中挖掘出直線的點斜式的數學情境,不僅有利于學生抓住數學本質,而且可以激發學生的探索求知欲,感悟數學家的猜想發現過程,體驗數學的應用價值[3].

5.2 在探究中培養學生的關鍵能力

在直線的點斜式方程的探索發現過程中,學生通過猜想、類比、歸納等多種合情化手段多角度考慮探索和嘗試,類比不是簡單的單一模仿,猜想不是只猜不證,讓學生深刻融入教學當中,在數學問題的牽引下,感悟數學,擴充重組數學知識結構,從而讓學生的思維有進一步的精煉.

5.3 在歸納和小結中培養學生的思維方式

在學習過程中,要讓學生學會觀察,領悟數學知識背后所蘊含的數學思想方法和思維方式,從而讓學生整體掌握數學的概念和定理.通過歸納小結,學生邏輯層次分明,是培養其系統思想的有效途徑.

學習其實是一種主動的繼承過程,教學設計是數學教學的重頭戲,是擴充學生知識結構的重要途徑.科學有效地設置數學問題,不僅可以豐富學生已有的知識結構,而且更能使學生的數學思維方式、數學關鍵能力、人格素養得到更好的發展.