“問題串”在中職數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用
——以“對數(shù)”為例

謝 芳

(江蘇省如皋第一中等專業(yè)學(xué)校,江蘇 如皋 226500)

概念的生成過程是概念教學(xué)的重點.一個好的概念教學(xué)設(shè)計一定是能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、幫助學(xué)生經(jīng)歷概念生成的完整過程.關(guān)于“問題串”的定義,可以理解為教師圍繞一定的教學(xué)目標(biāo)或某個中心問題,按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)精心設(shè)計的一系列問題組合[1].這些問題串在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生理解知識的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律,在此基礎(chǔ)上提升學(xué)生的思維能力和解題能力.因此,教師不妨嘗試將“問題串”運用到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,通過設(shè)計具有引導(dǎo)性的問題,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機,引導(dǎo)學(xué)生以積極主動的態(tài)度去探索新知,促進概念的形成和掌握.

1 創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入課題

無論哪個階段的數(shù)學(xué)教學(xué),選擇優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源,建立一個能激發(fā)學(xué)生思考和探索的問題情境都是值得教師去認(rèn)真思考的.而在數(shù)學(xué)問題情境的創(chuàng)設(shè)過程中,教師需要關(guān)注與學(xué)生相關(guān)的生活情境以及該知識的產(chǎn)生背景,盡可能地選擇學(xué)生感興趣的、有利于學(xué)生探索新知的學(xué)習(xí)素材.同時,考慮到創(chuàng)設(shè)情境的目的是為了幫助學(xué)生了解知識的來源以及快速地進入到學(xué)習(xí)狀態(tài),故過于復(fù)雜的情境導(dǎo)入則會顯得本末倒置.因此,創(chuàng)設(shè)的情境要體現(xiàn)出直觀性,要讓學(xué)生更好地進行思考和訓(xùn)練,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,體會到概念的源頭[2].

在討論對數(shù)的產(chǎn)生時,教師可以引入細(xì)胞分裂的情境:在生物學(xué)中,細(xì)胞是處于不斷分裂的過程中,已知某種細(xì)胞在分裂時,由一個變成了兩個,又由兩個變成了四個……以此類推,一個這樣的細(xì)胞分裂了x次后,得到了細(xì)胞個數(shù)為y,那么新的細(xì)胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x之間存在著怎樣的函數(shù)關(guān)系?此函數(shù)關(guān)系又該如何表示?針對該問題情境,學(xué)生能很快地運用“指數(shù)”來得到細(xì)胞個數(shù)y與分裂次數(shù)x之間的關(guān)系為:y=2x.此時,教師便可拋出兩個問題.問題1:如果細(xì)胞分裂6次,那么細(xì)胞數(shù)變成了多少?問題2:假設(shè)我們知道細(xì)胞分裂成了256個,那么細(xì)胞分裂的次數(shù)明確嗎?針對于第一個問題,學(xué)生知曉了要用“26”去解決問題,得到了答案為64個;在第二個問題中,學(xué)生需要找到“256相當(dāng)于是多少個數(shù)字2進行相乘”的結(jié)果,通過不斷的試驗,學(xué)生得到了“28=256”從而順勢得到“當(dāng)細(xì)胞分裂了8次后,細(xì)胞的個數(shù)變成了256”的答案.在該教學(xué)情境中,雖說并沒有真正地引入“對數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念,但從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)提出問題,讓學(xué)生知曉了“指數(shù)”問題是客觀存在的,這樣一來,學(xué)生也能意識到:“對數(shù)”必然也不是憑空產(chǎn)生的,它或許與“指數(shù)”存在著千絲萬縷的關(guān)系.接著,教師即可出示下列例題:2x=8,2x=16,2x=25.同時,提出如下問題:以上三個解方程有何共同特征?各自的答案又是什么?通過觀察后,學(xué)生一致地說出:“在這三個式子中,底數(shù)都是2,而冪則都不相同.”

2 合作探究,概念形成

在上一階段的教學(xué)片段中,學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“指數(shù)”在數(shù)學(xué)計算以及數(shù)學(xué)表示等方面的局限性,因此,對于新概念的獲取則顯得迫在眉睫.眾所周知,眾人拾柴火焰高,往往個人的能力是較為單薄的,對于數(shù)學(xué)探究而言亦是如此.所以,在概念形成的初始階段,學(xué)生應(yīng)當(dāng)積極主動地與他人展開交流,集中大家的智慧,從而高效地理解和掌握新概念.同時,教師應(yīng)繼續(xù)扮演好輔助者的角色,提出更具引導(dǎo)價值的問題串,以此來讓學(xué)生在探究過程中少走“彎路”,最終更好地促進概念的形成.

在研究上個案例的最后一個問題前,教師不妨出示下列兩個問題:設(shè)ab=N(a>0且a≠1)第一個問題,已知a,b求N,比如43=?、54=?第二個問題,已知a,N求b,比如3b=27,求b=?、5b=125,求b=?在實際的解答過程中,學(xué)生都能利用指數(shù)的知識去解決問題.同時,教師要引導(dǎo)學(xué)生說出這兩種計算題的相同點與不同點,通過觀察與交流,學(xué)生便能發(fā)現(xiàn):這兩種問題實際上都是與指數(shù)函數(shù)y=ax相關(guān),在第一個問題中,是已知指數(shù)求y;而在第二個問題中,是已知冪求指數(shù).在此基礎(chǔ)上,教師繼續(xù)拋出問題:這兩個問題中,哪一個是常見的指數(shù)問題?通過回憶指數(shù)的概念和表示形式,學(xué)生能輕而易舉地認(rèn)識到第一個是與指數(shù)相關(guān)的問題,而第二個可能與對數(shù)相關(guān).這個教學(xué)片段的設(shè)計意圖在于,能幫助學(xué)生進一步觸及到對數(shù)概念的學(xué)習(xí).此時,教師便可承接上一階段未完成的問題,提問:存在使得2b=5,這樣的數(shù)b嗎?若存在,該如何求解?在實際的求解過程中,學(xué)生提出了不同的求解方法,有學(xué)生認(rèn)為,因為22=4,而23=9,又因為4<5<9,則數(shù)b一定是介于2和3之間的一個數(shù),但求不出具體的數(shù)值;還有學(xué)生運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法,在平面直角坐標(biāo)系中依次畫出指數(shù)函數(shù)y=2x與常數(shù)函數(shù)y=5的圖像,而兩個函數(shù)圖像的交點橫坐標(biāo)即為b的值,最終也得到了“數(shù)b的值介于2與3之間”的結(jié)論,同時,還探究得到“數(shù)b的值是唯一的”.但較為遺憾的是,學(xué)生僅僅只是知曉了“b”的數(shù)值范圍,但依然無法用數(shù)學(xué)符號來表示.此時,教師便可引入新的數(shù)學(xué)符號“l(fā)ogaN”,解釋道:對于2b=5,為了能表示出數(shù)b,我們需要借助別的數(shù)學(xué)符號.可以發(fā)現(xiàn),指數(shù)b是由底數(shù)2與冪5決定的,所以數(shù)學(xué)家用log25,讀作以2為底5的對數(shù),其中2為底數(shù),寫在下面,5為真數(shù),寫在上方.

3 對比聯(lián)系,深入理解

對于學(xué)生而言,新的數(shù)學(xué)概念常常是比較晦澀難懂的,若不與舊知進行聯(lián)系,則往往起不到良好的學(xué)習(xí)效果.因此,教師不妨在提出問題串時,注重與舊知識點之間的聯(lián)系,讓學(xué)生對它們進行觀察、比較以及交流,找到它們之間的聯(lián)系與區(qū)別,促進學(xué)生對新概念的深入理解和掌握,最終獲得事半功倍的課堂教學(xué)效果.

教師首先針對對數(shù)中底數(shù)a的取值范圍,提出相關(guān)問題:當(dāng)變?yōu)閷?shù)時,底數(shù)a的取值會發(fā)生變化嗎?可以參照什么進行研究?根據(jù)對數(shù)的概念,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),對數(shù)來源于指數(shù),這兩個數(shù)本質(zhì)上體現(xiàn)的就是a,b,N這三個量的同一種數(shù)量關(guān)系,區(qū)別在于表現(xiàn)形式不一樣,從一定意義上來講,指數(shù)運算的逆運算便是對數(shù)運算.因此,對數(shù)中的a與指數(shù)中的a表示的是同一個數(shù),故對數(shù)中a的取值并不會發(fā)生任何改變.研究完a的取值后,教師可以拋出以下問題串:對數(shù)是否可以取到任何實數(shù)?真數(shù)N的取值又會如何?是否依然可以通過聯(lián)系指數(shù)來進行研究?有了之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,學(xué)生便會自發(fā)地進行對比研究.首先,在對數(shù)值的研究上,學(xué)生一致認(rèn)為對數(shù)值實際上就是指數(shù)里的b,因此,只要知道b的取值范圍,那么,對數(shù)值的取值就明了了.顯而易見,在指數(shù)中,b的定義域為一切實數(shù),故對數(shù)值亦可以取到一切實數(shù).同樣地,在真數(shù)N的研究上,學(xué)生依葫蘆畫瓢,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域知曉了N只能取到正數(shù),因此,在對數(shù)中,真數(shù)N的取值范圍為N>0.在依次探究完a,b,N的取值范圍后,教師可以讓學(xué)生自行探索對數(shù)中的一些特殊值,提出問題:在指數(shù)中,會存在一些特殊值,由此及彼,在對數(shù)中,會存在一些特殊值嗎?在這個問題中,學(xué)生首先需要回憶出指數(shù)中的一些特殊值.在實際的課堂教學(xué)中,有學(xué)生能回憶到“a0=1(a>0且a≠1)”這個特殊值,指出:無論底數(shù)a如何變化,只要指數(shù)a為0,那么冪永遠(yuǎn)是1;反過來考慮,若冪為1,那么指數(shù)b只能是0,而在對數(shù)中,指數(shù)中的冪就相當(dāng)于真數(shù)N,故loga1=0(a>0且a≠1).依據(jù)這個思路,還有學(xué)生指出:在指數(shù)中,a1=a(a>0且a≠1),即在定義域內(nèi),任意數(shù)的1次方都等于本身;反之,由可將冪N看成是對數(shù)中的真數(shù),得到logaa=1(a>0且a≠1).至此,學(xué)生對于對數(shù)的認(rèn)識也是更上一層樓.

4 習(xí)題練習(xí),鞏固深化

在數(shù)學(xué)新概念的學(xué)習(xí)中,理解和熟知是一個深度,掌握和應(yīng)用又是另外一個深度.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,選用一些具有針對性的習(xí)題來幫助學(xué)生鞏固和強化所學(xué)概念則顯得尤為重要.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,適度的練習(xí)是必要的,也是檢驗學(xué)生能否靈活運用所學(xué)概念的重要手段之一[3].

總之,根據(jù)不同的課型以及不同的教學(xué)要求,教師需要靈活地將問題由淺入深、有層次性地進行設(shè)計,從而達(dá)到有效調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、提升概念教學(xué)效果的目的.最后,教師也要注重教學(xué)反思,設(shè)計出更貼近與符合學(xué)生思維方式的問題串,進一步完善概念教學(xué).