高三復習課微單元設計與教學思考
——以“利用導數研究函數的零點問題”為例

靖 晶 陳艷寶

(大慶市第四中學,黑龍江 大慶 163711)

為了進一步提升學生的核心素養,促進學生對數學知識及思想方法的深度理解、建構知識及靈活運用,筆者嘗試開展“利用導數研究函數的零點問題”的微單元教學設計,內容以高考題為載體,嘗試開展教學實踐.

1 必備知識

1.1 函數的零點

對于函數y=f(x),把使f(x)=0的實數x叫做函數的零點.

1.2 與函數零點有關的等價關系

方程f(x)=0有實數根?函數y=f(x)的圖象與x軸有交點?y=f(x)有零點.

1.3 函數的零點存在性定理

如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.

已知零點個數求參數范圍的常用方法:①直接解方程②數形結合③借助導數工具及零點存在性定理.

2 教學過程設計

2.1 課前自主學習,診斷問題

進入高三階段,學生已經具備一定的學科知識及關鍵能力,但是由于有所遺忘,知識呈碎片狀.課前自主學習的形式診斷問題,梳理知識點,在掌握知識的同時學會數學思考方式,可以提升認知力及思維能力.

(1)(2019全國)函數f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點個數為.(直接法)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)(考查零點存在性定理)

(3)(2022·全國)已知函數f(x)=x3-x+1,則( ).

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

(考查借助導數工具研究函數圖象,數形結合解決問題)

2.2 典例剖析,引申拓展

例1(2022乙卷16)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點.若x1

思路探求:函數的極值點就是相應函數的導數的零點,故可轉化為研究導函數的零點問題.

圖1 例1題圖

當a>1時,f′(x)在(-∞,x0)單調遞減,(x0,+∞)單調遞增,此時x=x1為極大值點,不符題意.

方法點睛利用導數研究函數的單調性,根據參數的特點,確定分類討論的標準.在每一類情況中確定函數的極值、最值、單調性、特殊點等,畫出大致的函數圖象,討論其圖象與x軸的位置關系,先形后數,求出參數取值范圍.

方法2(同構+分離變量)由法1知,當a>1時,不符題意.

方法點睛通過分離變量,可將參數與變量分離開來,轉化為研究一個具體函數的圖象與直線交點的問題,避免了對參數的范圍的討論.本題對學生對于運算對象的理解有了更深層次的要求,需要結合運算對象的特點,恰當的變形后,轉化為研究具體函數的圖象問題.

方法3(轉化為研究兩個函數圖象的交點問題)

方法點睛利用數形結合求解零點問題,基本策略是“一靜一動、一直一曲”,當一直一曲時,極限位置為相切的位置;若為兩曲線,往往是凹凸性相反的兩曲線,極限位置是公切線.

2.3 問題延伸,拓展思維深度

思路探求考查學生分類討論思想,轉化與化歸能力及推理論證能力.難點一:確定分類討論的標準;難點二:在討論零點個數時,要結合零點存在性定理嚴密論證函數在相應區間上的零點個數,“找點”是學生的難點.故在研究前設計問題串如下,啟發學生思考如何“找點”.具體解答過程為:

方法點睛對于“找點”,在教學中培養學生有將指數、對數等放縮成低次、高次多項式的意識,有利用常用不等式進行放縮的意識.對于有困難的學生,可用極限的思維代替找點的思維.

評注利用導數研究函數的零點問題在解答題中往往是壓軸題,考查學生的綜合素養,具有很強的選拔功能.需根據式子結構特點先確定分類討論的標準,確定參數的取值范圍.在嚴密的推理論證中,往往找點成為難點,由于對學生的能力要求較高,在平時的教學中,有意識地培養學生觀察、思考,可通過設計問題串的形式引導,不斷提升學生的遷移能力,在不斷完善的數學知識結構中理解數學、領悟數學,形成規范化思考問題的品質.

3 高三復習微單元設計的教學思考

3.1 重視教材,充分挖掘教材

高考的考查方向既有對基礎知識、基本技能的考查,又有對基本思想和基本活動經驗的考查.在教學中,要在課程標準的基礎上,結合教材的例題、習題進行適當的延伸.題在書外,理在書中.在組織復習課的教學中,科學、合理地調整呈現的次序,增加啟發的環節,引導學生學會聯系題目的信息和自己所學的數學知識探索解題的思路,進行解題的嘗試,不斷反思與總結,積累數學活動經驗[1].

3.2 注重一題多解,從不同角度提升核心素養

通過例1的多種解法,從不同的角度入手,殊途同歸,都圓滿地解決了問題.既引導了學生善于從不同的角度深入研究,積累數學的活動經驗,又從不同的解法中提升了學生的核心素養.通過一道題學會一類題,才能達到“授之以漁”的目的.在選擇例題時應抓住主干知識以及學生學習特定內容的薄弱點,盡量選取能夠拓展解題方法的例題,可以向學生展示不同的解題方法,舉一反三,觸類旁通,提升核心素養,也可對例題進行適當的改編以達到上述目的.

3.3 經歷數學學習過程,培養核心素養

核心素養的提升并不是一蹴而就的,而是在學生經歷了直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算后,逐步內化形成的[2].故在高三的微單元復習中,要放手讓學生去深度地思考與體驗,可以引導學生開展合作交流、反思質疑等活動,對問題進行深入剖析,揭示知識的內涵與本質,有效提升學生的核心素養.

3.4 強化數學探究反思,提升理性思維

隨著我國課程改革的不斷深入,數學教育已從傳統的“學生本位”向“學科本位”課程觀跨越,提倡自主學習、深度學習,培養學生學習的主動性、創造性、批判性及反思性.在高三的微單元的復習課中,可以通過精心的教學設計,引導學生進行自主的、深度的探究學習,既強化了學生基本活動經驗的積累,提高了學生嚴密推理論證的能力,也進一步提升了學生的綜合素養.