基于自適應改進終端滑模的船舶航向控制*

向 軍 陳永冰 李文魁

（海軍工程大學電氣工程學院 武漢 430033）

1 引言

航向控制一直是船舶運動控制領域中的一個熱點問題，其性能的好壞決定了船舶航行是否安全和節能［1］。船舶運動數學模型是設計航向控制器的基礎，但其模型參數受航速、裝載等影響而發生攝動，再加上風、浪、流等外部因素的干擾，要使控制器達到預期效果并不容易，傳統的PID 控制已經不能滿足需要。為此，許多國內外學者引入反步法［2～4］、模糊控制［5～7］、滑模控制［8～9］、神經網絡［10～12］等控制算法對船舶航向控制進行了研究和實驗。

Du 等［13］考慮到船舶參數的不確定性，將動態面控制和Nussbaum 增益函數結合到backstepping算法中，提出了一種新的自適應非線性航向控制策略，克服了控制器出現奇異值的問題，但其并未考慮船舶外部干擾的問題；ZHANG 等［14］結合backstepping 技術設計了船舶航向自適應神經網絡魯棒航向保持控制器，利用神經網絡對船舶航向保持控制系統中的非線性項進行補償，解決了傳統backstepping設計中重復微分運算的問題；針對風浪等環境因素的影響，Islam等［15］提出了一種魯棒積分反步控制器，仿真結果表明，該控制器具有良好的響應性能和更少的消耗，且魯棒性較強，但參數攝動的問題并未解決；滑模控制作為一種典型的非線性系統控制方法，其由于自身的強魯棒性和抗干擾能力被廣泛應用于船舶控制系統中。李偉等［16］將分數階微積分理論與滑模控制相結合，設計了一種基于分數階滑模的航向保持控制器，提高了控制系統的精度和響應速度，但該控制器將外界干擾當成了已知條件；辛博鵬等［17］考慮船舶自身和外部不確定因素的干擾，在積分滑模控制的基礎上，利用非線性反饋理論處理控制系統的反饋誤差，通過仿真顯示，其設計的航向控制器在保證控制精度的基礎上減少了舵機能耗，但魯棒性和響應速度沒有得到體現。

本文從滑模控制的滑模面和趨近律兩方面著手，對滑模控制器進行改進優化，提出一種自適應改進非奇異終端滑模控制。首先為提高系統響應速度，對非奇異終端滑模面進行改進，然后將自適應控制與滑模控制器相結合，對趨近律的調節增益進行在線校正，解決了外部干擾和參數攝動的問題，并利用Lyapunov穩定性理論驗證了該控制器的穩定性。

2 船舶的數學模型建立

2.1 操縱運動數學模型

對于一般船舶，在低頻操舵和小舵角情況下，船舶在航向保持條件下的航向動態行為可用Nomoto模型表示，其表達式為

式中，T為時間常數，K為回轉性指數，ψ為航向角，δ為舵角。

考慮到在某些情況下，如船舶變航操作時涉及到大舵角的變化，此時為了更準確地描述船舶的運動狀態，船舶數學模型中的非線性高階項將不可忽視。因此本文采用非線性Norrbin 模型來設計航向控制器［18～19］。

式中，α為非線性項系數，又稱Norrbin系數。

2.2 環境干擾模型

在船舶的航行過程中，一些外部環境因素如風、浪、流等會引起航向偏差，因此為了驗證航向控制器的魯棒性，建立環境干擾的數學模型是很有必要的。在本文中，主要考慮海風與海浪。風干擾由脈沖風和平均風組成，其中脈沖風用白噪聲表示［20］，平均風用等效舵角表示。引入風等效舵角的目的是使仿真結果更符合船舶航向保持和跟蹤的實際要求。δwind的經驗計算公式如下［21］：

式中，K0為風壓差系數，VR為相對風速，γR為風舷角。由文獻［21］可知，6級風下和風舷角達到30°時，δwind=3°。

為了表示對海浪擾動的模擬，可以使用式（4）中的簡化傳遞函數模型來模擬6 級風下的波浪擾動，這是一個由有限頻帶內的白噪聲驅動的二階振蕩系統，其傳遞函數為［22］

3 航向控制器設計

3.1 非奇異終端滑模控制器

令x1=ψ，x2=r，u=δ，系統輸出y為船舶航向角ψ，則船舶航向控制系統的狀態空間方程為

式中，β＞0，p、q為正奇數且滿足1 ＜p/q＜2。選用等速趨近律作為該滑模趨近律：

其中，ε＞0，則聯立式（5）、式（6）和式（7）可得NTMSC控制律為

從式（6）中可知，1-p/q＜0，故當e2=0 時，上式存在奇異問題且w未知。參照文獻［23］將控制律改為

定理1：考慮總干擾d未知，假設其存在上界D（D＞0 且為常數）即 |d|≤D，則當ε≥D時，在滑模控制律（9）的作用下，控制系統穩定。

證明：選取Lyapunov 函數V1=s2/2，可知V1＞0，對V1求導可得：

通過上述推導可知，只有當ε≥D時，，此時由Lyapunov判據可知，該控制系統穩定。

3.2 自適應改進非奇異終端滑模控制器設計

為了提高系統到達平衡狀態的收斂速度，保持控制律的非奇異性，本文提出一種改進的終端滑模超曲面：

其中，λ為設計常數，取λ≥1，1 ＜p/q＜2。

則

與式（9）類似，航向控制律可設計為

定理2：系統狀態的跟蹤誤差e1在控制律式（13）的作用下，可在有限時間ts內從滑模面任意初始位置e1(0)≠0 收斂到平衡點e1(ts)=0，其中：

證明：根據式（11），令s=0，得：

對式（15）進行變換，則有：

即：

則有：

其中，e1(0)為系統狀態的跟蹤誤差在滑模面上的初始值，ts為滑模面上的系統狀態跟蹤誤差收斂到平衡點時經歷的時間。

由定理1 可知，式（13）中的趨近律增益ε的取值與系統干擾項的上界有關，然而在實際控制中上界D大部分是未知的。ε取值過大，會加劇系統輸出的抖振問題，使得系統的航向控制精度降低、增加能耗；ε取值過小，無法保證系統的穩定性。因此，為合理調節ε的大小，在保證系統抗干擾能力和穩態性能的同時改善系統輸出的抖振問題，設計了自適應律如下：

式中，γ、χ均為自適應律的調節增益，γ＞0，χ＞0。|s|和兩項根據 |s|的大小分別占據主導地位，當遠離滑模面時，|s|較大，自適應律近似為γ|s|，調節速度較快；當靠近滑模面甚至在滑模面上運動時，即 |s|趨于0，較大且有上限χ，不會出現過度調節的問題，從而有效防止劇烈抖振。則依據式（13），AINTMSC控制律可表示為

其中，Θ(s)為光滑連續函數，用其取代符號函數sgn(s)可有效減弱系統輸出的抖振現象，其公式為

其中，Δ 為很小的正常數。

定理3：假設總干擾d滿足條件：|d|≤D（D＞0 且為常數），則當εm≥D（εm為ε的上界）時，在控制律式（21）和自適應律式（20）的作用下，控制系統穩定。

證明：令，故。

構造Lyapunov函數：

對V2求導，將式（20）、式（21）代入式（22），整理得：

故當εm≥D時，，根據Lyapunov 穩定性定理可知，該控制系統穩定，系統的航向跟蹤誤差收斂到零。

4 仿真驗證與結果分析

為驗證本文設計的AINTMSC 控制算法的有效性和控制器的控制性能，應用Matlab/Simulink 進行船舶航向控制的仿真實驗，分別使用該算法與常規的NTMSC 控制算法設計控制器。設置兩種控制器的共同參數β=0.00125、p/q=5/3。本文以文獻［24］中的“育龍”號船舶為研究對象，其參數如表1所示，當船速為7.7m/s 時，K=0.478，T=216，α=30。

表1 “育龍”船舶有關參數

實驗1：船舶直航，設置初始航向為0°，期望航向為30°，無外部干擾和參數攝動，仿真時間500s，則航向角與舵角變化如圖所示。由圖1 可知，當無外界干擾和參數攝動時，在NTMSC 和AINTMSC 的控制下，系統均能收斂至期望航向且無超調現象，收斂時間分別為82s、181s，后者收斂更快，此外，AINTMSC 控制下的舵角變化范圍為-5°～19°，比NTMSC更小。

圖1 無干擾時AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對比曲線

實驗2：船舶直航，初始條件不變，外部干擾為六級風干擾和其作用下的海浪干擾，仿真時間500s，則航向角與舵角變化如圖2所示。當存在風浪干擾時，在AINTMSC 控制下，船舶仍能跟蹤期望航向且航向穩定，抗干擾性強；而在NTMSC 控制下，系統受外部干擾影響較大，航向波動范圍在28.1°和31.4°之間。

圖2 存在風浪干擾時AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對比曲線

實驗3：船舶直航，初始條件和外部干擾不變，為模擬參數攝動，對船舶模型參數進行處理，T和α在原值的基礎上乘以2，K在原值的基礎上除以2，仿真時間500s，此時航向角與舵角變化如圖3所示。當存在風浪干擾和參數攝動時，NTMSC 控制下的航向變化曲線出現超調現象，航向上下波動；而AINTMSC 控制下的航向變化曲線受影響較小，航向穩定且收斂較快，前期舵角變化幅值比NTMSC小。

圖3 存在風浪干擾和參數攝動時AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對比曲線

實驗4：前三個仿真實驗均為航向保持實驗，為了驗證設計控制器的適用性，本文還進行變航向的航向跟蹤實驗。以正弦波為輸入信號，模擬航向變化，設置其幅值為30°，周期為250s，則航向角與舵角變化如圖所示。從圖4 可以看出，存在風浪干擾和參數攝動的情況下，即使航向連續變化，AINTMSC控制下的船舶同樣能準確穩定跟蹤期望航向，舵角變化合理。

圖4 變航向下存在風浪干擾和參數攝動時AINTMSC和NTMSC控制下航向角與舵角對比曲線

為了進一步量化控制效果，本文選取兩種性能指標來評估控制器的性能，分別為航向誤差的絕對平均值（Mean Absolute Course Error，MACE）和輸入舵角的絕對平均值（Mean Absolute Rudder Input，MARI），具體公式如下［25］：

其中，MACE 反映了系統輸出的響應性能和誤差，MACE 越小，說明響應越快，誤差越小；MARI反映了控制輸入舵角的能耗，MARI越小，說明能耗越低。

如表2所示，控制仿真結果的定量比較驗證了本文所提算法的優越性。AINTMSC 的響應性能指標MACE 和能耗性能指標MARI 在四個實驗中均低于NTMSC，說明在AINTMSC 控制下，無論是否存在風浪干擾和參數攝動，船舶航向均能更快地跟蹤期望值且精度更高，舵機的總能耗更低。

表2 三種仿真下NTMSC與AINTMSC的性能指標對比

5 結語

本文充分考慮船舶本身參數不確定性因素和外界未知干擾，在常規的非奇異終端滑模控制基礎上，設計了一個新的終端滑模超曲面，在保證系統非奇異的基礎上提高了收斂速度，然后將該滑模控制與自適應相結合，實現趨近律調節增益的自適應校正，從而增強了控制器的抗干擾能力。仿真結果表明，AINTMSC 使航向的收斂速度和精度明顯提高，航向跟蹤曲線平穩且無超調現象，船舶對外界風浪干擾和參數攝動的魯棒性很強，且能耗也有一定程度的降低，是一種控制性能很好的航向控制器。