市場分數對期貨定價模型的影響

費 釗,楊 志,2,王 婧,2

(1.伊犁師范大學數學與統計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應用數學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

傳統的金融理論并不能很好地解釋金融市場中出現的某些現象,如波動聚集、過度波動、非正態性、長期反轉、中期動量、尖峰厚尾和貝塔異常等.因為傳統金融理論中假設投資者是理性的,但是經過時間證明投資者并不總是理性的.經過相關學者的進一步研究,金融市場模型得到了更好的發展.如BROCK和HOMMES[1]提出了投資者的信念隨著時間更新的適應性測度模型,該模型通過內生演化機制描述資產價格演化過程,研究參數對系統模型的影響.隨后,大多研究人員在BROCK和HOMMES[1]提出的模型基礎上進行了更進一步的研究[2-11].DIECI等[2]建立了異質代理商下的市場分數模型,得出了不同投資者的市場占比對系統模型的影響.CHIARELLA等[3]研究了價格記憶長度對模型穩定性的影響.GONG等[4]建立了期貨價格模型,研究了投資者之間的交易行為對價格發現的影響.王婧[5]研究了在不同角色下做市商制度對金融市場價格模型的影響,得到做市商的庫存調節速率對市場價格的影響.楊志[6]研究了具有融券的金融資產價格對穩定金融市場價格模型的影響.

在傳統經濟理論中,通常認為期貨價格反映現貨基本信息,在短期內不會有快速和大幅度的變化,隨著交割日的臨近,理論上期貨價格會逐漸趨于現貨基本價值.然而相關研究表明,交易活動和不同的投資者結構對期貨價格和現貨價格有重大影響.市場價格是通過不同投資者相互博弈而產生的動態均衡價格,異質型投資者對價格和利潤有著不同的信念與預期,不同投資者采用不同策略.由于異質投資者的行為對資產定價有一定的影響,考慮從行為均衡的角度來研究維持金融市場穩定的一些條件.本文假設期貨市場含有三類投資者,即基本面分析者、技術分析者、套期保值者,通過建立期貨定價模型,研究不同類型投資者所占的市場分數對金融市場穩定性的影響,通過研究得出,在一定范圍內市場參與者的類型越豐富,越有助于市場的穩定.

1 建立模型

假設期貨市場中含有三類投資者,即基本面分析者、技術分析者、套期保值者,假設投資者收益服從均值-方差效用模型[4]:

其中,Et、vart分別為投資者利用已有的信息所得的條件期望和條件方差;a是風險厭惡系數;πt+1是t+1時刻的收益.

在期貨市場中投資者持有的合約不會產生紅利,收益主要表現為價差.對于基本面分析者和技術分析者,收益為

πi,t+1=(pt+1-pt)zi,t,i=1,2,

(1)

其中,pt為t時刻的期貨價格;zi,t為第i類投資者的期貨需求;i=1代表基本面分析者,i=2代表技術分析者.

套期保值者的主要目的是防范風險,在期貨市場和現貨市場以相反的方向和相同的數量進行交易以對沖風險,其收益為

π3,t+1=(pt+1-pt+st-st+1)z3,t,

(2)

其中,st為t時刻的現貨價格.

利用均值-方差最大化得出投資者的最優需求zi,t:

(3)

其中,ai是第i類投資者的風險厭惡系數;Bt=st-pt表示現貨價格與期貨價格的差額.

假設投資者是有限理性的,不同類型的投資者以不同策略形成他們的期望,基本面分析者利用已有知識,預計期貨價格趨近基準價值p*,在基準價值附近上下波動,條件期望為

E1,t(pt+1)=k(p*-pt)+pt,

(4)

其中,k表示投資者預期調整速率,k>0.

技術分析者根據以往的業績走勢來預測下一時期的期貨價格,條件期望為

E2,t(pt+1)=pt+g(pt-pt-1),

(5)

其中,g表示趨勢外推的速度.

套期保值者認為,隨著交割日的臨近,期貨價格和現貨價格會相互收斂,如果期貨價格與現貨價格之間的差價較大,預計在下一時期會收窄,條件期望為

E3,t(Bt+1)=Bt-α(st-pt),

(6)

其中,α表示調整速度.

假設這三類投資者對條件方差的信念是不變的,即

(7)

則投資者的最優需求分別為

(8)

假設基本面分析者、技術分析者、套期保值者這三類交易者在t時刻所占的市場分數分別為qi,t(i=1,2,3).由于套期保值者在期貨市場做對沖來保值,而做對沖的一般是具有高度金融知識的機構投資者,其在市場中所占的比例相對固定.因此假設套期保值者在市場中所占比例固定為n3.假設基本面分析者和技術分析者在市場中占有的市場分數分為固定部分和時變部分[2],固定部分分別為n1,n2,則(1-n3)(n1+n2)表示隨著時間的變化,基本面分析者和技術分析者保持交易策略不變的占比.(1-n3)(1-(n1+n2))表示基本面分析者和技術分析者改變交易策略的占比,并假設基本面分析者與技術分析者在t時刻的占比分別為n1,t,n2,t,且n1,t+n2,t=1.由此可得到

n1,t,n2,t由離散選擇模型決定[1]:

(9)

其中,β為選擇強度,用于衡量基本面分析者與技術分析者對不同投資預測規則的傾向程度;Ci是第i類投資者選擇策略所付出的信息成本;Ui,t為t時刻第i類投資者在期貨市場中所獲得的利潤,用來度量交易策略在期貨市場中的適應程度,稱作適應測度.

經風險調整后的適應測度[12]:

(10)

其中,η為記憶參數,0<η<1,η代表過去適應測度對投資者現有策略的影響,則有

(11)

假設期貨價格是通過做市商機制得出的[3,13],調整機制為

pt+1=pt+μDt,

(12)

其中,μ表示市場流動性水平,Dt表示市場需求.

Dt=q1,tz1,t+q2,tz2,t+q3,tz3,t.

(13)

現貨價格的調整是由期貨價格和現貨價格來決定的,其調整機制為

st+1=vp*+(1-v)pt+εt,

(14)

其中,0

由此,得到非線性差分方程的市場動力系統:

(15)

2 穩定性分析

令隨機項為零,并假設ai=a,i=1,2,3.

(16)

考慮平衡點的局部漸進穩定性,基本面分析者與技術分析者在平衡點的市場分數分別為

定理2 由參數(μ,g)確定的區域Ω為平衡點E的局部漸進穩定區域,

Ω={(μ,g):μ≤μ1, max{0,g1}

E經歷了一個Hopf分支,其中,

證明 該模型在平衡點處所對應的雅克比矩陣為

通過計算得出雅克比矩陣所對應的特征方程為λ2(λ-η)2Γ(λ)=0,其中,

由于0<η<1,所以只考慮Γ(λ)的兩個特征根是否在單位圓內,由Jury判據可得

解上述不等式組即可使定理2得證.

由定理2可以看出,假設其他參數不變,當g1<0時,隨著n3的增大,Ω的區域逐漸增大,也就是在適當范圍內,隨著套期保值者占比增大,系統在平衡點的穩定區域逐漸增大.在期貨市場中,套期保值者具有促進市場穩定的功能.同樣,若其他參數不變,在適當范圍內,隨著k的增大,穩定區域反而逐漸減小,也就是有了套期保值者的參與,市場情緒變得更加復雜.只有當各參數相互協調時,才能滿足穩定條件.這意味著行為因素對市場穩定有著綜合影響.

3 數值分析

基本平衡點E在(μ,g)空間上局部穩定區域如圖1所示.由圖1(a)(c)(e)可知,當套期保值者的比例n3分別為0.1、0.5、0.7時,所對應的系統在平衡點處的穩定區域逐漸增大,這說明在市場中套期保值者的參與有助于維護市場的穩定性.由圖1(b)(d)(f)可知,當基本面分析者和技術分析者在市場中占有的市場分數的固定部分n0分別取0.1、0.3、0.7時,所對應的系統在平衡點處的穩定區域逐漸減少,即時變部分(1-n0)逐漸減小,穩定區域逐漸減少,說明在市場中基本面分析者和技術分析者根據已有信息改變交易策略,可維護市場的穩定性.

(a)n3=0.1

(b)n3固定,n0=0.1

(c)n3=0.5

(e)n3=0.7

(f)n3固定,n0=0.7圖1 基本平衡點E在(μ,g)空間上局部穩定區域

當所有參數在穩定區域內取值時,考慮價格的時序圖以及相圖.資產價格圖如圖2所示,資產價格相圖如圖3所示.由圖2可知,當參數在穩定區域內取值時,價格隨著時間的變化總會趨于基準價值.由圖3可知,當參數在邊界點取值時,會出現極限環,價格圍繞著一定的范圍波動.

圖2 資產價格圖

圖3 資產價格相圖

4 結語

通過建立三類異質性投資者(基本面分析者、技術分析者和套期保值者)形成的期貨市場動力學模型,利用離散動力系統理論以及數值分析,得到如下結論:第一,在金融市場中,異質性投資者越多,金融市場就越有活力,對于維護市場穩定具有促進作用;第二,基本面分析者與技術分析者根據市場信息調整交易策略,在一定程度上起到穩定市場的作用;第三,隨著套期保值者的市場占比在一定范圍內的增多,使得期貨價格與現貨價格趨向于基準價值,起到穩定市場的作用.