磁場中軸向運動鐵磁梁固有振動與內共振的理論及數值模擬研究

崔 雪, 孔祥清, 胡宇達

(1.遼寧工業大學 土木建筑工程學院,遼寧 錦州 121000; 2.燕山大學 建筑工程與力學學院,河北 秦皇島 066004)

軸向運動體系在工程實際中普遍存在,例如高速軸向運動的磁懸浮列車、空中纜車索道和電梯的牽引繩和動力傳輸帶等等。軸向運動梁作為一種常見的結構,其橫向振動和穩定性的研究在工程中有著重要的研究價值。Mote等[1-2]是最早研究軸向運動體系振動穩定性問題的國外學者。對于軸向運動梁,彭麗等[3-4]對軸向運動梁的非線性強迫振動、非線性動力學及穩定性等做了大量研究工作。丁虎等[5]總結了軸向運動梁做自由振動、受迫振動和參激振動時兩組橫向模型的解析解研究進展。文獻[6]研究了軸向運動梁的橫向耦合振動的非線性問題。在磁彈性問題上,鄭曉靜等[7-8]對鐵磁材料在電磁場作用下的彎曲、失穩等問題進行了深入的研究,給出了基本的理論框架和計算方法。周紀卿[9]給出了無軸向運動的梁在磁場中的振動方程,并進一步研究了梁的穩定性問題。胡宇達等[10-12]研究了磁場中導電梁和導電薄板的非線性共振、參數振動及動力穩定性等問題。文獻[13]通過復模態方法求解了3種模型的控制方程,給出了其相應的固有頻率及模態函數。Li等[14]研究了內共振條件下四邊簡支邊界條件下的矩形板全局分岔和多脈沖動力學問題。胡海良等[15]利用改進的攝動法研究了含有立方項和平方項的非線性系統的1 ∶3內共振問題。黃玲璐等[16]用直接多尺度法研究了軸向運動梁的內共振問題。

目前,針對磁場環境下軸向運動體系的研究還較少,本文針對電磁力激發下鐵磁梁的雙向耦合振動問題進行研究,并考慮其軸向運動條件,解出梁雙向固有振動的固有頻率表達式。并進一步研究系統發生內共振時梁的振動特性。最后通過有限元方法得到了和理論解比較吻合的數值解。本文研究結果可以為后續研究梁的受迫振動提供理論基礎。

1 磁場中軸向運動鐵磁梁的非線性振動方程

研究圖1所示在恒定橫向磁場B0(0,By,0)中做軸向運動的鐵磁梁,設梁的彈性模量、密度和電導率分別為E,ρ和σ,軸向拉力為T0x,梁橫截面為矩形,高為h,寬度為b,沿著x方向的軸向運動速度為c。

圖1 軸向運動鐵磁梁模型Fig.1 The model of ferromagnetic beam model with axially moving

1.1 洛倫茲力

當鐵磁梁在磁場中軸向運動時,由電磁場理論可知,由于振動時切割磁感線使梁內產生感應電流,其電流密度為

(1)

由式(1)可得洛倫茲力矢量表達式為

(2)

從而可以得到磁場中鐵磁梁所受單位長度橫向電磁力為

(3)

1.2 磁體力偶

因為梁的變形將導致梁內磁場發生變化,設梁內總磁感應強度為

B=B0+θ(t)B1

(4)

式中:B為梁變形引起的攝動磁場;θ(t)為與時間有關的小的攝動參數。在梁的正弦變形形式下[17]有

B=χmByΔ-1[coshkycoskx·i+sinhkysinkx·j]

(5)

鐵磁材料梁的磁化強度為

(6)

式中:μ0=4π×10-7為真空磁導率,H/m。

單位長度梁上作用的磁體力偶為

(7)

又在小變形下,設單位長度梁上受到的體積力偶與梁的撓曲線斜率成正比,則有

(8)

式中,k0為磁扭轉剛度。由式(7)和式(8)可得

(9)

忽略x方向軸向振動,當軸向運動梁發生橫向振動時,其動能為

(10)

根據彈性變形理論,可以得到梁的總勢能表達式

U=U1+U2+U3

(11)

其中

式中:U1為梁的拉力引起的應變勢能;U2為梁的中面應變勢能;U3彎曲應變勢能。

1.3 磁彈性雙向振動方程

根據哈密頓變分原理得到在橫向磁場中軸向運動鐵磁梁的雙向磁彈性自由振動方程為

(12)

(13)

式中,Iz和Iy分別為梁對軸z和y軸的慣性矩。

2 雙向耦合固有振動問題理論求解

2.1 伽遼金法分離時間和空間變量

梁的邊界條件為

(14)

(15)

設滿足邊界條件的位移解為

(16)

(17)

將式(16)、式(17)代入式(12)、式(13),可得到分離時間和空間變量的梁的磁彈性雙向耦合振動方程

(18)

(19)

式中:

2.2 求解耦合方程固有頻率

利用多尺度法近似求解弱非線性方程式(18)、式(19)時,在方程組等號右端引入小參數ε,并改成如下形式

(20)

(21)

設系統的運動按不同時間尺度T0=t和T1=εt變化。將式(20)、式(21)的解寫為

q1=q11(T0,T1)+εq12(T0,T1)

(22)

q2=q21(T0,T1)+εq22(T0,T1)

(23)

將式(22)、式(23)代入(20)、式(21),令ε的同次冪系數相等,得到一次近似方程

(24)

(25)

二次近似方程

(26)

(27)

設式(26)、式(27)的復數形式的解為

(28)

(29)

將式(28)、式(29)代入式(26)、式(27)得到

(30)

(31)

式中,cc為等式右側各項的共軛。

消除式(30)、式(31)長期項的條件是

(32)

(33)

將復函數A1,A2對t的導數寫為

(34)

(35)

式中:D0A1=0;D0A2=0;D1A1和D1A2由式(32)、式(33)確定。

聯立式(32)～式(35),得到

(36)

(37)

設復函數Ar寫成如下指數形式

(38)

式中,ar(T1),βr(T1)均為T1的實函數。

將式(38)代入式(36)、式(37),分離實部和虛部得到

(39)

(40)

(41)

(42)

積分式(39)和(40)得到

a1=a01

(43)

(44)

式中,積分常數a01和a02取決于初始條件。

所以得到系統固有振動頻率為

y方向

(45)

z方向

(46)

2.3 內共振情況

觀察式(32)、式(33)可知,當派生系統的兩個固有頻率滿足1∶1時,系統將發生內共振。

設派生系統的兩個固有頻率滿足

ω10=ω20+ελ

(47)

式中,λ為引入的頻率調諧參數。

考察式(30)、式(31)發現,除了正比于eiω10T0和eiω20T0的項外,式中正比于ei(ω10-2ω20)T0和ei(2ω10-ω20)T0項也會產生長期項。

這時消除式(30)、式(31)長期項的條件是

(48)

(49)

將式(38)代入式(48)、式(49),將實部和虛部分離得到關于a1,a2,β1和β2的常微分方程組

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

3 算例分析

3.1 非內共振

對橫向磁場中軸向運動鐵磁材料梁的固有振動特性進行分析。梁的物理參數如表1所示。梁材料選擇純鐵,梁橫截面面積為A=b×h=0.02 m×0.03 m,長度為l=1 m。

表1 純鐵的物理參數

圖2和圖3分別給出了梁在y方向和z方向振動的固有頻率ω1和ω2隨時間的變化曲線。在振動的初始階段,固有頻率ω1和ω2隨時間減小,最終趨于一個常值。對比圖2(a)和圖3(a),圖2(a)中3條曲線沒有重合,是由于式(45)中存在磁扭轉剛度k0。由此可知當時間足夠大時,固有頻率ω1與磁場強度有關,而ω2與磁場強度無關。由圖2(b)、圖2(c)和圖3(b)、圖3(c)相比較可以看出:當時間足夠大時,初始振幅a01不同,對應的固有頻率ω1和ω2也不同;初始振幅a02不會影響固有頻率ω1和ω2。

圖2 ω1隨時間變化規律Fig.2 Variation of ω1 with time

圖3 ω2隨時間變化規律Fig.3 Variation of ω2 with time

圖4和圖5分別給出了磁感應強度和軸向速度對固有頻率ω1的影響曲線圖。圖6和圖7分別給出了磁感應強度和軸向速度對固有頻率ω2的影響曲線圖。從圖中可以看出固有頻率ω1和ω2都隨著磁感應強度和軸向速度的增大而減小。圖4(c)中當磁感應強度達到某一值后3條曲線重合,是因為當磁感應強度較小時,初始振幅a02對ω1有較大影響,而當磁感應強度大于某一個數值時,初始振幅a02對ω1基本沒有影響。圖5(a)和圖7(a)中曲線較密集,說明磁感應強度對ω1和ω2的影響較小。圖6中3條曲線隨磁感應強度增大而逐漸平行y軸,表明當磁感應強度足夠大時,其對ω2的影響會顯著降低。圖6(c)中當磁感應強度達到某一值后3條曲線相交,表明當磁感應強度足夠大時,ω2的大小與a02無關。

圖4 By與ω1之間的關系Fig.4 Relationship between By and ω1

圖5 c與ω1之間的關系Fig.5 Relationship between c and ω1

圖6 By與ω2之間的關系Fig.6 Relationship between By and ω2

圖7 c與ω2之間的關系Fig.7 Relationship between c and ω2

3.2 內共振

對橫向磁場中軸向運動純鐵材料梁的內共振特性進行分析。梁物理參數見表1。

當梁發生1 ∶1內共振時,由固有頻率表達式可知,當梁長和寬越接近相等,兩個方向振動固有頻率越接近1 ∶1,故選擇梁橫截面面積A=b×h=0.03 m×0.03 m。

圖8～圖12給出了系統發生內共振時振幅a1和a2隨時間變化的曲線圖。圖(b)是圖(a)在時間段0～0.001 s的截圖,圖(c)是圖(a)在時間段0.05～0.051 s的截圖。從圖中可以看到系統的能量在a1和a2之間不斷的交換,發生了明顯的內共振現象。對比圖8～圖10可以看出,當軸向速度為40 m/s,60 m/s和80 m/s時,局部放大圖變化微小,可知軸向速度對系統內共振影響較小。對比圖8、圖11和圖12可以看出,當磁感應強度為0.2 T,0.3 T和0.4 T時,局部放大圖變化明顯,可知磁感應強度對系統內共振影響顯著,且磁感應強度越大,系統內共振現象越不明顯。

圖8 振幅能量交換時程圖(By=0.2 T, c=40 m/s)Fig.8 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=40 m/s)

圖9 振幅能量交換時程圖(By=0.2 T, c=60 m/s)Fig.9 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=60 m/s)

圖10 振幅能量交換時程圖(By=0.2 T, c=80 m/s)Fig.10 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.2 T, c=80 m/s)

圖11 振幅能量交換時程圖(By=0.3 T, c=40 m/s)Fig.11 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.3 T, c=40 m/s)

圖12 振幅能量交換時程圖(By=0.4 T, c=40 m/s)Fig.12 Amplitude energy exchange time histogram (By=0.4 T, c=40 m/s)

圖13 梁振動的前12階模態Fig.13 First twelve modes of beam vibration

4 有限元分析

4.1 計算模態和固有頻率

利用ABAQUS有限元軟件軟件建立了梁的三維實體模型,將梁劃分為10 000個單元,單元類型為C3D8R。計算了梁振動的前12階模態,并求解出各階模態對應的振動頻率。

由圖(13)可知梁的前9階振動模態均為y方向和z方向的振動,第10階模態為沿著軸向的振動,第11階模態為沿著軸向的扭轉,第12階模態又回到了y方向。圖14給出了各階模態對應的固有頻率。

圖14 各階模態對應的固有頻率Fig.14 Natural frequencies corresponding to each mode

4.2 理論解與數值模擬對比

表2給出了梁振動固有頻率的理論解和數值解,的理論解為342.21 rad/s,數值解為321.69 rad/s,誤差為6.00%;ω2的理論解為501.11 rad/s,數值解為486.94 rad/s,誤差為2.83%。

表2 固有頻率理論解與數值模擬結果

經對比可知,理論求解和有限元分析結果吻合較好。

5 結 論

本文研究了橫向磁場中做軸向運動鐵磁梁的雙向耦合固有振動和內共振,給出了洛倫茲力和磁體力偶表達式,利用哈密頓原理推導出了梁的振動方程,進一步研究梁1 ∶1內共振問題,并將理論解與數值解進行對比。本文得到結論如下:

(1)推導出了磁場中做軸向運動鐵磁梁的非線性雙向耦合振動方程以及梁在y方向和z方向振動固有頻率的表達式。

(2)由固有頻率表達式(45)、式(46)可知,當梁長和寬越接近相等時,系統將發生1 ∶1內共振,求解了系統內共振情況下的振幅和相位調制方程。

(3)梁固有頻率隨磁感應強度和軸向速度的增大而減小,最終趨于一個常值。

(4)y方向和z方向振動的固有頻率數值解與理論解誤差分別為6.00%和2.83%,兩者吻合較好。