一道拋物線檢測題的解法與推廣探究

朱彬

1 試題呈現

（2023屆福建省福州市高三第二次質量檢查數學試題第21題） 已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過點（-2，0）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.當l1的斜率為23時，|AB|=[KF（]13[KF）].（1）求E的標準方程；（2）設G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上.

2 試題解答

首先來看第（1）小題的解法.

分析：求曲線標準方程的基本方法是待定系數法，依據l1的斜率設出l1的點斜式方程，與E的方程聯立，消去x后得到關于y的一元二次方程，利用弦長公式得到關于參數p的等式，求解得到p的值，從而得到E的標準方程.

解：當l1的斜率為23時，則得其方程為y=23（x+2）.聯立方程組y2=2px，y=23（x+2），代入并整理得y2-3py+4p=0.由弦長公式得|AB|=[KF（]1+（32）2[KF）]·[KF（]（3p）2-16p[KF）]=[KF（]13[KF）]2·[KF（]9p2-16p[KF）].

又|AB|=[KF（]13[KF）]，所以[KF（]13[KF）]2·[KF（]9p2-16p[KF）]=[KF（]13[KF）]，即[KF（]9p2-16p[KF）]=2，解得p=2或p=-2p（舍去），故E的標準方程為y2=4x.

本小題考查待定系數法求拋物線的標準方程和直線與拋物線的位置關系，熟練運用弦長公式是求解的關鍵.下面重點來研究第（2）小題的解法.

分析：該小題是圓錐曲線的重點題型——定線問題.定線問題是指無論動點如何變化，始終在某條定直線上，問題的本質就是求動點的軌跡（方程）.

因為點（-2，0）在拋物線E的對稱軸上，所以由拋物線的對稱性可知，直線AD與直線BC的交點G必定在垂直與x軸的直線上，因此要證明點G必在定直線上，只要證明點G的橫坐標為定值.這樣，分別設出A、B、C、D的坐標，表示直線AD與BC的方程后聯立，得到用A、B、C、D的坐標表示的點G的橫坐標，而整體消去與A、B、C、D坐標有關的部分成為解題的關鍵.因此，需要首先從直線AB和直線CD的方程著手尋找聯系.

思路1 先根據A、B在E上，設出兩點的坐標，利用點差法求得斜率式子，表示出直線AB的方程后，將點（-2，0）代入，從而得到A、B兩點縱坐標關系；同理得到C、D兩點縱坐標關系，進而利用這些關系證得點G的橫坐標為定值.這一思路的程序是：設點——表示直線方程——代點（-2，0）——縱坐標關系——結論證明.

解法1：因為是A、B拋物線E上的兩點，所以設A（y124，y1），B（y224，y2）則直線AB的斜率k1=y2-y1y224-y124=4y1+y2，所以直線AB的方程為y-y1=4y1+y2（x-y124），整理得4x-（y1+y2）y+y1y2=0.又因為直線AB過點（-2，0），將點（-2，0）代入直線AB的方程得y1y2=8.

因為C、D是E上兩點，所以設C（y324，y3），D（y424，y4），同理可得y3y4=8.直線AD的方程為4x-（y1+y4）y+y1y4=0，直線BC的方程為4x-（y2+y3）y+y2y3=0.由于點（-2，0）在拋物線E的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，直線AD與直線BC的交點G必定在垂直與x軸的直線上，因此要證點G必在定直線上，只要證明點G的橫坐標為定值.聯立方程組4x-（y1+y4）y+y1y4=0，4x-（y2+y3）y+y2y3=0

因為直線AD與直線BC相交，所以y1+y4≠y2+y3.所以方程組消去y，解得x=y2y3（y1+y4）-y1y4（y2+y3）4［（y2+y3）-（y1+y4）］=8［（y2+y3）-（y1+y4）］4［（y2+y3）-（y1+y4）］=2.故點G的橫坐標為定值2，即直線AD與直線BC的交點G在定直線x=2上.得證.

思路2 根據直線AB過點（-2，0），設出點斜式方程，與拋物線方程聯立，消元轉化，設出點A、B兩點縱坐標，由韋達定理得到縱坐標關系，利用點差法求得斜率式子，表示出直線AB的方程后，將點（-2，0）代入，從而得到A、B兩點縱坐標關系；同理得到C、D兩點縱坐標關系，進而利用這些關系證得點G的橫坐標為定值. 這一思路的程序是：設直線點斜式方程——聯立方程組——利用韋達定理——縱坐標關系——結論證明.

解法2：因為直線AB過點（-2，0），所以設AB的方程為y=k1（x+2），聯立方程組y=k1（x+2），y2=4x，消去x得k1y2-4y+8k1=0.

設A（y124，y1），B（y224，y2），所以y1y2=8k1k1＝8.

因為直線CD過點（-2，0），所以設CD的方程為y=k2（x+2），同理可得y3y4=8.直線AD的方程為y-y1=y4-y1y424-y124（x-y124）=4y4+y1（x-y124），所以=4y4+y1x-y1y4y4+y1，所以化簡、整理得4x-（y1+y4）y+y1y4=0.同理可得直線BC的方程為4x-（y2+y3）y+y2+y3=0.

以下同解法1.

思路3 根據直線AB過點（-2，0），設出橫斜截式方程，后面的過程同思路2.

解法3：因為直線AB過點（-2，0），所以設AB的方程為x=ty-2，聯立方程組x=ty-2，y2=4x， 消去x得y2-4ty+8=0.設A（y124，y1），B（y224，y2）所以y1y2=8.因為直線CD過點（-2，0），所以設CD的方程為x=sy-2，同理得y3y4=8.直線AD的方程為y-y1=y4-y1y424-y124（x-y124）=4y4+y1（x-y124），所以y=4y4+y1+y1y4y4+y1，所以化簡、整理得4x-（y1+y4）y+y1y4=0.同理可得直線BC的方程為4x-（y2+y3）y+y2y3=0.

以下同解法1.

點評：解法1是先設點，得到直線方程后將點（-2，0）代入，而解法2和解法3則是直接利用點（-2，0）設出直線的方程，不同之處在于解法2設出直線的點斜式方程，而解法3是設出直線的橫截距式方程.設而不求和整體思想則是解決該小題的主要方法和手段.

3試題變式

探究1 試題中的拋物線E：y2=4x開口向右，點（-2，0）是對稱軸上位于y軸左側的一個已知點，那么，對應于拋物線E另外三種開口方向和已知點的相應位置，是否也有類同于第（2）小題的結論呢？于是有以下三個變式題.

變式1 已知拋物線E：y2=-4x，過點（2，0）的兩條直線l2，l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點，則點G必在定直線上.（答：定直線為x=-2）

變式2 已知拋物線E：x2=4y，過點（0，-2）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點，則點G必在定直線上.（答：定直線為y=2）

變式3 已知拋物線E：y2=-4y，過點（0，2）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點，則點G必在定直線上.（答：定直線為y=-2）

4結論推廣

探究2 我們根據試題中拋物線方程x的的系數和已知點橫坐標的關系，能否將試題結論推廣為一般情形？于是有了下面的結論1.

結論1已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過點（-p，0）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點，則點G必在定直線x=p上.

結論1的證明可按試題的解法過程來完成，這里從略；若變換拋物線的開口方向和已知點的坐標，可得到另外三個類同結論，這里也從略.

探究3若將結論1中拋物線E的方程不變，將點（-p，0）變為更一般情形，能否得到類同的結論？于是有下面的結論2.

結論2 已知拋物線E：y2=2px（p＞0），過點（-m，0）（m＞0）的兩條直線l1，l2分別交E于A、B兩點和C、D兩點.設G為直線AD與BC的交點，則點G必在定直線x=m上.

證明：因為A、B是拋物線E上的兩點，所以設A（y122p，y1），B（y222p，y2）則直線AB的斜率k1=y2-y1y222p-y122p=2py1+y2，所以直線AB的方程為y-y1=2py1+y2（x-y122p），整理得2px-（y1+y2）y+y1y2=0.又因為直線AB過點（-m，0），將點（-m，0）代入直線AB的方程得y1y2=2pm.因為C、D是E上兩點，所以設C（y322p，y3），D（y422p，y4），同理得y3y4=2pm.直線AD的方程為2px-（y1+y4）y+y1y4=0，直線BC的方程為2px-（y2+y3）y+y2y3=0.由于點（-m，0）在拋物線E的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，直線AD與直線BC的交點G必定在垂直與x軸的直線上，因此要證點G必在定直線上，只要證明點G的橫坐標為定值.聯立方程組2px-（y1+y4）y+y1y4=0，2px-（y2+y3）y+y2y3=0，因為直線AD與直線BC相交，所以y1+y4≠y2+y3.所以方程組消去y，解得x=y2y3（y1+y4）-y1y4（y2+y3）2p（y2+y3）-（y1+y4）=y1y2y3+y2y3y4-y1y2y4-y1y3y44［（y2+y3）-（y1+y4）］=2pmy3+2pmy2-2pmy4-2pmy12p［（y2+y3）-（y1+y4）］=2pm［（y2+y3）-（y1+y4）］2p［（y2+y3）-（y1+y4）］=m.故點G的橫坐標為定值m，即直線AD與直線BC的交點G在定直線x=m上.命題得證.

若變換拋物線的開口方向和已知點的坐標，可得到另外類同的三個結論，這里從略.