“雙根”技巧簡化運(yùn)算，等價(jià)轉(zhuǎn)化探究本質(zhì)

黃桃榮

解決軌跡問題的一般方法是設(shè)點(diǎn)，通過題干發(fā)現(xiàn)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式，化簡關(guān)系式求得結(jié)論.當(dāng)題干條件復(fù)雜時(shí)，如何選擇切入點(diǎn)則是解決此類問題的關(guān)鍵.筆者研究了2023屆廣州市高三調(diào)研測試第21題，通過該題的解答過程，很好地體現(xiàn)了如何設(shè)點(diǎn)以及消元的完整過程，現(xiàn)將筆者的思考展現(xiàn)如下，以饗讀者.

一、題目

已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓M與y軸相切，且圓心M與拋物線C的焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線C和圓M的方程；（2）設(shè)P（x0，y0）（x0≠2）為圓M外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）和Q（x3，y3）、R（x4，y4），且y1y2y3y4=16.求證：點(diǎn)P在一條定曲線上.

分析：本題的主題干對(duì)拋物線與圓的信息交代的非常清晰，且考查的方式也很直接，拋物線C的方程為y2=4x，圓M的方程為（x－1）2+y2=1，過程略.本題的難點(diǎn)主要集中在第（2）問，涉及到了圓的切線，直線與拋物線相交，四個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足某種關(guān)系式.并證明點(diǎn)P在一條定曲線上.考查的因素很多，且條件環(huán)環(huán)相扣，但所求的是一條軌跡問題.但題干沒有直接計(jì)算點(diǎn)P的軌跡（通過后文可知其軌跡為圓的一部分），該設(shè)問方式反而降低了要求（回避了分析在所求的軌跡中排除不滿足的部分）.

二、解法呈現(xiàn)

解法一：（以斜率為基本量求得軌跡）設(shè)直線AB，QR的斜率分別為k1，k2，設(shè)直線AB的方程為y=k1（x－x0）+y0.因?yàn)橹本€AB與圓M相切，所以k1+y0－k1x0k21+1=1.化簡可得（x20－2x0）k21－2（x0－1）y0k1+y20－1=0.同理可得k2也滿足上述方程，即有（x20－2x0）k22－2（x0－1）y0k2+y20－1=0.從而可得k1，k2是關(guān)于k的方程（x20－2x0）k2－2（x0－1）y0k+y20－1=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得k1+k2=2（x0－1）y0x20－2x0，k1·k2=y20－1x20－2x0.聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程可得k1y2－4y+4（y0－k1x0）=0，顯然k1≠0，利用韋達(dá)定理可得y1y2=4（y0－k1x0）k1，同理可得y3y4=4（y0－k2x0）k1.所以y1y2y3y4=16（y0－k1x0）（y0－k2x0）k1k2=16，即y20－（k1+k2）x0y0+k1k2（x20－1）=0，代入上式所得關(guān)于k的韋達(dá)定理可得y20－2（x0－1）y0x20－2x0x0y0+y20－1x20－2x0（x20－1）=0，化簡整理得x20+y20=1.

綜上即可知點(diǎn)P在定曲線x2+y2=1上運(yùn)動(dòng).

評(píng)注：上述解法即是按照題干條件出現(xiàn)的順序，逐漸深入完成求解.思維過程簡單，但涉及到的運(yùn)算量較大.但在本文中多次出現(xiàn)了“整體代換”的技巧，例如本文研究了k1的表達(dá)式后通過類比即可得k2的表達(dá)式，從y1y2到y(tǒng)3y4也是運(yùn)用的該思想.

“雙根法”簡介：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根分別為x1，x2.則ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2），該表達(dá)式的右側(cè)即為二次方程的雙根式.利用雙根法求解的一般步驟：聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程獲得二次方程——轉(zhuǎn)化為雙根式——賦值——變形代入——對(duì)結(jié)論進(jìn)行解釋.例如，設(shè)直線y=kx+t與某圓錐曲線聯(lián)立所得的一元二次方程為ax2+bx+c=0（a≠0），先將該表達(dá)式寫成雙根式可得ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）.對(duì)于計(jì)算y1·y2等表達(dá)式時(shí)，y1·y2=k2（x1+tk）（x2+tk），在上式中令x=－tk，即可得y1·y2=at2－bkt+ck2.

解法二：（利用“雙根法”求解，提高運(yùn)算效率）現(xiàn)將解法一中關(guān)于k的方程寫成兩根式可得（x20－2x0）k2－2（x0－1）y0k+y20－1=（x20－2x0）（k－k1）（k－k2）①.現(xiàn)化簡條件（y0－k1x0）（y0－k2x0）即可用“雙根法”實(shí)現(xiàn)（在解法一中是利用展開后再結(jié)合韋達(dá)定理求解），具體如下：（y0－k1x0）（y0－k2x0）=x20（y0x0－k1）（y0x0－k2）.在①式中，令k=y0x0，可得（y0x0－k1）（y0x0－k2）=－1x20－2x0，后續(xù)解法同解法一.

評(píng)注：利用“雙根法”的優(yōu)勢在于回避了對(duì)兩個(gè)韋達(dá)公式“兩根之和”、“兩根之積”的變形過程.但要注意使用時(shí)的限制，所求式需為“對(duì)稱”結(jié)構(gòu).其次，本題若選擇1k1，1k2為變量再使用“雙根法”將會(huì)極大的降低運(yùn)算量.具體如下：設(shè)1k1=m1，1k2=m2.將關(guān)于k的方程（x20－2x0）k2－2（x0－1）y0k+y20－1=0變形為（y20－1）1k2－2（x0－1）y01k+x20－2x0=0，即（y20－1）m2－2（x0－1）y0m+x20－2x0=0.

條件y1y2y3y4=16（y0－k1x0）（y0－k2x0）k1k2=16等價(jià)于（y0m1－x0）（y0m2－x0）=1.后續(xù)過程，本文就不再展示了，請(qǐng)讀者自行體會(huì)兩種方式下使用“雙根法”的優(yōu)劣.

提示：若以m1，m2為變量，可直接設(shè)直線AB的方程為x=m1（y－y0）+x0進(jìn)行運(yùn)算.

三、背景探究及模型推廣

根據(jù)上面的解答過程可知，解題的核心在于對(duì)y1y2y3y4=16的解析，為了有效地說明該結(jié)論對(duì)應(yīng)的本質(zhì).我們先看如下的一個(gè)引理.

引理 設(shè)點(diǎn)P（t，0），過點(diǎn)P作直線l與拋物線C：y2=2px交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，則y1y2=－2pt.

證明：設(shè)直線l：x=my+t與拋物線的方程y2=2px聯(lián)立可得y2－2pmy－2pt=0.根據(jù)韋達(dá)定理可得y1y2=－2pt.

在原問題中，設(shè)直線AB，QR與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2.根據(jù)引理可得y1y2=－4t1，y3y4=－4t2，即等價(jià)于t1·t2=1.那么原問題可進(jìn)行如下的改述：設(shè)P（x0，y0）（x0≠2）為圓M：（x－1）2+y2=1外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，設(shè)兩條切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2，若t1·t2=1，求證：點(diǎn)P在一條定曲線上.

該轉(zhuǎn)述完全回避了拋物線的作用，回到了問題的本質(zhì).接下來，本文將嘗試直接轉(zhuǎn)述后的問題.

證明：設(shè)直線l1為圓M：（x－1）2+y2=1的一條切線，設(shè)其與x軸的交點(diǎn)為（t1，0）.

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)即可得直線l1的方程為x=±t21－2t1y+t1；移項(xiàng)后平方得（x－t1）2=（±t21－2t1y）2，整理得（y2－1）t21－2（y－x）t1－x2=0.

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）∈l1，所以（y20－1）t21－2（y0－x0）t1－x20=0，同理可得（y20－1）t22－2（y0－x0）t2－x20=0.

由此即可得t1，t2為關(guān)于t的方程（y20－1）t2－2（y0－x0）t－x20=0的兩個(gè)根.根據(jù)韋達(dá)定理得t1t2=－x20y20－1=1，即x20+y20=1.綜上即可知點(diǎn)P在定曲線x2+y2=1上運(yùn)動(dòng).

通過上述解答過程，可快速將上述模型進(jìn)行推廣.例如我們可以得到如下的結(jié)論：

結(jié)論1 設(shè)P（x0，y0）（x0≠2）為圓M：（x－1）2+y2=1外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，設(shè)兩條切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2，若t1·t2=s（s>0），則點(diǎn)P在x2+sy2=s上運(yùn)動(dòng)（即其軌跡為橢圓）.

結(jié)論2 設(shè)P（x0，y0）（x0≠2）為圓M：（x－1）2+y2=1外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，設(shè)兩條切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2，若t1+t2=m，則點(diǎn)P在x=－m2y2+y+m2上運(yùn)動(dòng)（即其軌跡為拋物線）.

結(jié)論3 設(shè)P（x0，y0）（x0≠2）為圓M：（x－1）2+y2=1外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線，設(shè)兩條切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為t1，t2，若1t1+1t2=n，則點(diǎn)P在y=－n2x2+x上運(yùn)動(dòng)（其軌跡也為拋物線）.