點到直線距離公式在橢圓和雙曲線中的推廣

楊勇軍　紀定春　周其祥

一、問題提出

距離是一種刻畫研究對象在時間、空間上的相隔長度，亦或是人的認知、情感等方面的差距．在中學數學中，距離是一種定義在歐氏幾何中的標量，它沒有方向、只有大小且非負．點到直線的距離公式是高中數學的重要教學內容，也是高考數學的重點考察對象，即對于平面直角坐標系中的任意點P（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0（其中A2+B2≠0），則點P到直線l的距離為d=|Ax0+By0+C|A2+B2．既然點到直線的距離有統一的公式，那么直線到橢圓和雙曲線，是否也有類似形式的公式呢？經過我們探究，確實存在形式統一的公式．

作仿射變換x′′=x－x0a2，y′′=y－y0bi，將雙曲線化為“單位虛圓”：x′′2+y′′2=1，此時單位虛圓的內部為雙曲線的外部，而外部為雙曲線的內部．根據仿射變換的點列變換特征，并結合引理可知：當d>1時，直線與單位虛圓相離，即直線與雙曲線相交；當d=1時，直線與單位虛圓相切，即直線與雙曲線相切；當0

在拓廣平面內，即在歐氏平面的基礎上，增加無窮遠直線和無窮遠點．橢圓和雙曲線在拓廣平面內，同屬于封閉圖形，但是橢圓和雙曲線在無窮遠直線（或點）處的性質又有細微的差異．在距離無窮遠直線處，橢圓與無窮遠直線相離，而雙曲線與無窮遠直線相交，即有兩個不同的實無窮遠交點，這兩個點將拓廣平面內封閉的雙曲線分割成兩支，即為歐氏平面內的雙曲線．上述性質2中的仿射變換，是將雙曲線的外部變換成一個單位虛圓，而經過該圓內部的任意線段的長度是無窮的，因此有上述性質2的第（3）．

但是，對于d=0時的特殊情況，直線與雙曲線是相交或相離的．其中相交是很好理解的，即連接拓廣平面內雙曲線被無窮遠直線分割的兩個部分，其必有交點，在歐式幾何中表現為連接雙曲線的兩支的任意兩點，其必定經過縱坐標．相離可以理解為直線即為拓廣平面內的無窮遠直線，在歐氏平面內為雙曲線的兩條漸近線之一．

參考文獻

［1］王敬賡，岳昌慶．關于雙曲線的“內部”和“外部”的對話［J］．數學通報，2014，53（12）：48-51．