圓錐曲線中兩類定值問題的等價刻畫

李波

文［1］考察了圓錐曲線的一個定點問題：在圓錐曲線Γ上任取一點P，過P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且l1，l2交Γ于A，B兩點，若k1+k2（或k1k2）為定值，直線AB是否過定點？本文將探究兩類類似的定值問題，并給出等價刻畫.

性質1 如圖1，過點F（t，0）（t≠0）的兩條不同直線l1，l2交

橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）所得的兩弦AB，CD的中點分別為P，Q，k1，k2分別是l1，l2的斜率，則

（1）以下條件等價：①k1k2=λ（≠0），②kOP·kOQ=b4λa4；③直線PQ//x軸或恒過定點λa2tλa2－b2，0；

（2）以下條件等價：①k1+k2=μ，②1kOP+1kOQ=－a2μb2；③直線PQ⊥x軸或恒過定點t，－b2ta2μ.

證明：設l1的方程y=k1（x－t）與橢圓E的方程聯立，消y并整理得（b2+a2k21）x2－2a2k21tx+a2（k21t2－b2）=0，則xP=a2k21tb2+a2k21，yP=k1（xP－c）=－b2k1tb2+a2k21（-）.將（-）中的k1用k2替換得xQ=a2k22tb2+a2k22，yQ=－b2k2tb2+a2k22.

（1）的證明：先證①②，①③.

由于kOP·kOQ=b4a4k1k2，故①②.

當xP=xQ時，可得xP=xQk21=k22k1=－k2（因k1≠k2）k21=－λ.此時，xP=λa2tλa2－b2，即直線PQ過λa2tλa2－b2，0.當xP≠xQ時，有kPQ=yP－yQxP－xQ=（λ－k21）（λa2－b2）k1a2（λ－k21）（λ+k21），而k1≠k2，則λ≠k21，故kPQ=（λa2－b2）k1a2（λ+k21）.若λ=b2a2，則kPQ=0，即PQ//x軸.若λ≠b2a2，則直線PQ的方程y－yP=kPQ（x－xP），令y=0得kPQx=kPQxP－yP，即（λa2－b2）k1a2（λ+k21）x=b2k1tb2+a2k21+（λa2－b2）k1λ+k21·k21tb2+a2k21，整理得x=λa2tλa2－b2.

綜上，直線PQ//x軸或恒過定點λa2tλa2－b2，0，即①③成立.

再證③①：若PQ//x軸，則yP=yQ，即（k1－k2）（b2－a2k1k2）=0，而k1≠k2，故k1k2=b2a2是定值.當PQ恒過x軸上的定點（m，0）（m≠0）時，（i）若kPQ不存在，即xP=xQ=m，則k1，k2是關于k的方程a2k2tb2+a2k2=m的根，由根與系數的關系可得k1k2=mb2a2（m－t）；

（ii）若kPQ存在，則kPQ=yP－yQxP－xQ=b2a2·k2（b2+a2k21）－k1（b2+a2k22）k21（b2+a2k22）－k22（b2+a2k21）=a2k1k2－b2a2（k1+k2）.

進而，直線PQ的方程為y=kPQx－xP+yp=kPQ（x－m）+kPQ（m－xP）+yP，其中kPQ（m－xP）+yP=0，此式整理得b2m=a2（m－t）k1k2，即k1k2=b2ma2（m－t）.將m換成λa2tλa2－b2，整理得k1k2=λ.

（2）的證明：先證①②，①③.

由于1kOP+1kOQ=－a2（k1+k2）b2，故①②.

由于k1+k2=μ，則xQ=a2（μ－k1）2tb2+a2（μ－k1）2，yQ=－b2（μ－k1）tb2+a2（μ－k1）2.當xP=xQ時，有xP=xQ（μ－k1）2=k21μ=0.當μ=0時，PQ⊥x軸.當μ≠0時，直線PQ的斜率存在，即kPQ=yP－yQxP－xQ=b2a2·（μ－k1）（b2+a2k21）－k1（b2+a2（μ－k1）2）k21（b2+a2（μ－k1）2）－（μ－k1）2（b2+a2k21）=b2a2·（μ－2k1）（b2+a2k1（k1－μ））μb2（2k1－μ）=a2k1μ－（b2+a2k21）a2μ，則直線PQ的方程為y=a2k1μ－（b2+a2k21）a2μx－a2k21tb2+a2k21－b2k1tb2+a2k21=a2k1μ－（b2+a2k21）a2μx－t－b2ta2μ，即PQ恒過定點t，－b2ta2μ.

再證③①：由于xQ=a2k22tb2+a2k22，yQ=－b2k2tb2+a2k22，若PQ⊥x軸，則xP=xQ，得k1+k2=0.設直線PQ恒過（t，m）（m≠0），則直線PQ的方程y=kPQx－xP+yp=kPQ（x－t）+kPQ（t－xP）+yP，其中kPQ（t－xP）+yP=m，整理得－b2t=a2m（k1+k2），故k1+k2=－b2ta2m.將m換成－b2ta2μ，可得k1+k2=μ.

注：當t∈［－a，0）∪（0，a］時，k1k2（≠0），k1+k2可取任意實數；當t∈－∞，－a∪a，+∞時，k1k2∈－b2t2－a2，b2t2－a2，k1+k2∈－2bt2－a2，2bt2－a2.

雙曲線和圓上有與性質1完全類似的結論，即

性質2 過點F（t，0）（t≠0）的兩條不同直線l1，l2交雙曲線E：x2a2－y2b2=1所得的兩弦AB，CD的中點分別為P，Q，k1，k2分別是l1，l2的斜率，則

（1）以下條件等價：①k1k2=λ（≠0）；②kOP·kOQ=b4a4λ；③直線PQ//x軸或恒過定點λa2tλa2+b2，0；

（2）以下條件等價：①k1+k2=μ；②1kOP+1kOQ=a2μb2是常數；③直線PQ⊥x軸（μ=0）或恒過定點t，－b2ta2μ（μ≠0）.

性質3 過點F（t，0）（t≠0）的兩條不同直線l1，l2交圓E：x2+y2=r2（r>0）所得的兩弦AB，CD的中點分別為P，Q，k1，k2分別是l1，l2的斜率，則

（1）以下條件等價：①k1k2=λ（≠0）；②kOP·kOQ=1λ；③直線PQ//x軸（λ=1）或恒過定點λtλ－1，0（λ≠1）；

（2）以下條件等價：①k1+k2=μ；②1kOP+1kOQ=－μ；③直線PQ⊥x軸（μ=0）或恒過定點t，－tμ（μ≠0）.

拋物線上的情況略有不同，即

性質4 過點F（t，0）（t≠0）的兩條不同直線l1，l2交拋物線E：y2=2px（p>0）所得的兩弦的中點分別為P，Q，k1，k2分別是l1，l2的斜率，則

（1）以下條件等價：①k1k2=λ（≠0）；②直線PQ定點t－pλ，0；

（2）以下條件等價：①k1+k2=μ；②直線PQ⊥x軸（μ=0）或恒過定點t，pμ（μ≠0）.

參考文獻

［1］賈永進，趙永彩，楊列敏.對一類解析幾何問題的探究［J］.中學數學教學參考（上旬），2020（11）：52-54.