從一道模擬題談拋物線與其根軸圓的位置關系

嚴志偉

1.試題呈現

如圖1，拋物線y2=8x與動圓M：（x－8）2+y2=r2（r>0）交于A，B，C，D四個不同點.（1）求r的取值范圍；（2）略.這是2021年廣東省江門市一模試題題21，本題的答案是43

2.探究一般性結論

對于一般的拋物線C：y2=2px（p>0），動圓M：（x－a）2+y2=r2（r>0），有什么類似的結論？

設P（x，y）（x≥0）為拋物線C：y2=2px（p>0）上任意一點，它與圓心M（a，0）的距離PM=（x－a）2+y2=（x－a）2+2px=x2－2（a－p）x+a2

=x－（a－p）2+2ap－p2（x≥0）.

若a－p≤0，即a≤p，則當x=0時，PM取最小值a.這時若r=a，則拋物線C圓與圓M相切于頂點，且這兩曲線有且僅有這一個公共點；

若a－p>0，即a>p，則當x=a－p時，PM取最小值2ap－p2.這時若r=2ap－p2，則拋物線C與圓M相切于兩點，兩切點的橫坐標都是a－p，且這兩曲線有且僅有這兩個公共點.由此可得關于拋物線與其根軸圓位置關系的一個性質.

命題1 拋物線C：y2=2px（p>0）與動圓M：（x－a）2+y2=a2（a≤p）相切于原點，且無其他公共點；拋物線C：y2=2px（p>0）與動圓M：（x－a）2+y2=2ap－p2（a>p）相切于兩點，兩切點的橫坐標都是a－p，且無其他公共點.