巧用曲線系探索一類斜率比值問題

林景芳　林志敏

題目 （2022年全國甲卷·理20）設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，點Dp，0，過F的直線交C于M，N兩點．當直線MD垂直于x軸時，MF=3．（1）求C的方程；（2）設直線MD，ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β．當α－β取得最大值時，求直線AB的方程．

分析：（1）y2=4x，過程略；（2）求α－β的最大值，關鍵是解決傾斜角β，α的關系，進而轉化為尋找tanα，tanβ即kMN，kAB的關系.

思路一：設My214，y1，Ny224，y2，Ay234，y3，By244，y4，直線MN：x=my+1，由x=my+1，

y2=4x聯立得y2－4my－4=0，Δ>0，y1y2=－4，kMN=y1－y2y214－y224=4y1+y2，kAB=y3－y4y234－y244=4y3+y4，MD：x=x1－2y1·y+2，代入y2=4x，得y2－4x1－2y1·y－8=0，Δ>0，y1y3=－8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1.所以kAB=4y3+y4=42y1+y2=kMN2，即kMNkAB=2.再利用兩角差正切公式及基本不等式求解，過程略.

本題涉及的是直線與拋物線問題，計算相對簡單，如果把曲線改為橢圓或雙曲線，計算量將大大增加，為了更好解決這類問題并加以推廣，本文著重介紹曲線系的解題方法.

思路二：分別設直線MN，AB，MA，NB的方程分別為x=t1y+1，x=t2y+m，x=t3y+2，x=t4y+2.構造二次曲線系（x－t1y－1）（x－t2y－m）+λ（x－t3y－2）（x－t4y－2）=μ（y2－4x），其中λ，μ∈R，分別對比x2項、xy項、y項、常數項的系數，得1+λ=0，

－（t1+t2）－λ（t3+t4）=0，

（mt1+t2）+2λ（t3+t4）=0，

m+4λ=0，解得t2=2t1，即kMNkAB=2.

評注：本題涉及的是蝴蝶型斜率比值為定值與直線過定點之間的關系，我們把問題一般化，便于探索其內在聯系.

結論1 如圖1，設拋物線Γ：y2=2px（p>0）的弦AB過定點M（m，0）（m>0），過M作拋物線Γ的弦CD（異于AB），若直線AC與x軸交于定點N（n，0）（n≠0），直線AC，BD的斜率存在且非零，則直線BD過定點Lm2n，0，且k1k2=mn.

結論3 如圖3，設雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的弦AB過定點M（m，0）（m>a），過M作雙曲線Γ的弦CD（異于AB），若直線AC與x軸交于定點N（n，0），直線AC，BD的斜率存在且非零，則直線BD過定點L2ma2－na2－m2na2+m2－2mn，0，且k1k2=a2－m2a2+m2－2mn. 特別地，當C、D分別為左、右頂點即n=－a時，k1k2=a－ma+m.

例1 已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為23，半焦距為c（c>0），且a－c=1，經過橢圓的左焦點F，斜率為k1（k1≠0）的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點．（1）求橢圓Γ的標準方程；（2）設R（1，0），延長AR，BR分別與橢圓交于C，D兩點，直線CD的斜率為k2，求證：k1k2為定值．

析解：（1）易得橢圓方程為x29+y25=1.

（2）由結論2，a=3，m=1，n=－2，得k1k2=a2－m2a2+m2－2mn=47.例2 橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，M在橢圓上，ΔMF1F2的周長為25+4，面積的最大值為2.

（1）求橢圓C的方程；（2）直線y=kx（k>0）與橢圓C交于A，B，連接AF2，BF2并延長交橢圓C于D，E，連接DE，求證直線DE過定點，并探索直線DE的斜率k′與k的關系.

解析：（1）易得橢圓方程為x25+y2=1.

（2）由結論2，a=5，m=2，n=0，得2ma2－na2－m2na2+m2－2mn=209，故直線DE過定點209，0.又kk′=a2－m2a2+m2－2mn=19，即k′=9k.

以上從曲線系的解題視角證明并推廣了一類斜率比值及定點問題，它也是解析幾何的熱點問題和常見模型，挖掘其內在聯系并加以推廣，具有重要意義.實際上，本文得到的三個結論，也是蝴蝶定理和坎迪定理在解幾中的一個具體應用.

（本文為2021年泉州市基礎教育教學改革專項課題《基于數學運算能力的高中質優生培養的有效教學策略研究》（編號：QJYKT2021-068，主持：林志敏）；《基于質優生培養有效策略之試題變式教學研究》（編號：QJYKT2021-067，主持：黃婉真）的研究成果之一.）