一道拋物線聯考題的變式與推廣

龍偉

1 試題再現

題目 （2023屆江西省“新八校”高三上學期第一次聯考理數第8題）如圖１，拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MN⊥y軸于N，若四邊形OCMN的面積等于8，則E的方程為（）.

3 結論推廣

將上述各變式推廣到一般形式的拋物線，可有下面相應的結論.

結論1 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，則|AB|+|DH|的最小值為8p.

結論1的證明仿照變式1的證明過程.

結論2 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與分別交于A、B和D、H，則1|AB|+1|DH|=12p.

結論2的證明仿照變式1、2的證明過程.

結論3 已知拋物E：y2=2px（p＞0）線的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，則|AB|·|DH|的最小值為16p2.

結論3的證明仿照變式1、3的證明過程.

結論4 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，則四邊形ADBH的最小值為8p2.

結論4的證明仿照變式3的證明過程.

結論5 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過作兩條互相垂直的直線l2，l2直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，若AB的中點為M，線段DH的中點為P，則△FMP面積的最小值為p2.

結論5的證明仿照變式5的證明過程.

結論6 已知拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線l2，l2，直線l2，l2與E分別交于A、B和D、H，若AB的中點為M，線段DH的中點為P，則直線MP恒過定點（3p2，0）.

無論是同步教學還是在高考復習中，要常態化地指導學生通過對一些典型問題的探討和拓展，及時歸納、總結出一些常用的“二級結論”，這對于學生解題能力的提高和數學素養的提升是頗有裨益的.