“補”教材之“白”　促數學理解

張志剛

一、問題提出

教學中教師首先要吃透教材，并對教材做適當“補白”，即對教材中省略的過程或單一的學材進行調整和補充，這是教師根據教學需要進行二次加工，使之更契合學生認知現實的過程，也是教師教學中常態化的工作之一.下面舉例說明.

《普通高中教科書·數學·選擇性必修第二冊·A版》（人民教育出版社2020年5月第1版）（下文簡稱“教材”）第87頁有如下例題：求函數f（x）=13x3－12x2－2x+1的單調區間.

本例旨在以三次多項式函數為例，介紹用導數求函數單調區間的一般步驟.而通過必修課程的學習，學生知道單調性的定義是求解函數單調性問題的基本方法，本題能用單調性的定義思考函數單調區間嗎？教材也在第88頁“邊空”提出問題：“如果不用導數的方法，直接運用單調性的定義，你如何求解本題？運算過程麻煩嗎？你有什么體會？”

顯然，“邊空”提出的問題并不“邊緣”，它貼合學生的最近思維發展區，有利于深化對數學知識的整體架構的認識.在教學實踐中，教師一般也會讓學生嘗試從單調性的定義討論，在得出f（x1）-f（x2）=16（x1－x2）（2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12）后，很難發現在哪些區間內正負性保持不變，嘗試到此為止，絕大部分教師會“啟發”學生改用導數“利器”求解，以此突顯導數求函數單調區間的重要性和優越性.在筆者看來，如此粗枝大葉、蜻蜓點水、淺嘗輒止的“努力”，容易讓學生質疑單調性的定義的有效性：單調性的定義在討論三次多項式函數的單調區間時“失效”了嗎？是“使用不當”、“不會使用”還是真正“不能使用”？換言之，討論三次多項式函數的單調性只能用導數嗎？若事實如此，對于高中階段并不學習導數知識的上海地區學生而言，又用什么工具討論三次多項式函數的單調性呢？可見，上述教學過程看似行云流水，順理成章、快捷高效，實則隱患較多，對誤導學生理解數學的損失則是無法挽回的.下面針對以上疑問展開研究，予以澄明.

二、問題探究

是什么導致我們的解題半途而廢、無疾而終呢？由于f（x1）－f（x2）=16（x1－x2）（2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12），所以問題的關鍵在于判定2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12的符號，即在哪些區間內2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0和2x12+2x1x2+2x22-3x1－3x2－12>0，本質上是雙元等式的證明問題.證明雙元不等式的核心思想是消元，即將雙元不等式轉化為一元不等式去解決.具體消元方法有商式換元、差式減元、韋達消參、主副元減元等.采用何種策略要視具體題設條件而定，不可一概而論.由于2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12呈現二元二次多項式形式，我們可考慮主副元減元法，其基本原理是：在雙元函數不等式中，將其中一個變量作為主元，另外一個變量作為副元（參數），從而構造一元函數來證明，達到減元的目的.

例1 利用單調性的定義證明f（x）=13x3－12x2－2x+1在－1，2上單調遞減.

證明：設－10，即有f（x1）>f（x2），所以f（x）在（－1，2）上單調遞減.

以上將變量x1作為主元，另外一個變量x2作為副元（即參數），構造了二次函數h（x）=2x2+（2x2-3）x+2x22-3x2-12，從而確定h（x1）<0，即2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0，進而說明了f（x）在（－1，2）上單調遞減.簡而言之，通過確立主副元構造函數后，發揮二次函數圖象已知、數值可算的優勢，確定代數式的符號.類似的，我們可討論函數的增區間.

基于學生已具備的認知基礎，除了以上的解法，我們還可以考慮配方策略.配方是一種以“出現平方式”為思維指向的恒等變形，因而，配方法既具有一般恒等變形的功能，又具有“平方式”，從而在實數范圍內產生非負數的特殊功能.至于配方法的更多作用，如配方消去一次項、配方分離分母等，都可以分解成這兩個基本功能的組合與派生.下面舉例說明.

例2 利用單調性的定義證明f（x）=x3－3x2+6x+2在R上單調遞增.

證法1：設x1

證法2：設x1

兩種證明都是配方法應用的典范，證法1中把變量x1作為主元，變量x2作為副元，把x12+x1x2+x22-3x1-3x2+6變形為x12+x2-3x1+x22-3x2+6，通過配方得x1+x2－322+34x22-32x2+154，再次配方構造平方式得x1+x2－322+34（x2－1）2+3，由實數平方的非負性得證.證法2將x1+x2視為一個整體，經系數配湊、配方后把2x12+2x1x2+2x22-6x1-6x2+12變形為（x1+x2-3）2+x12+x22+3，問題得證.兩種證明都需要較強的觀察能力和代數變形能力.

從中我們也可以發現，配方途徑有多向性.同一個式子可以有不同的配方結果，可以配成一個平方式，也可以配成多個平方式.在基本配方形式中，a2+ab+b2=（a+b）2－ab=（a－b）2+3ab=

a+b22+3b22=a+b22+a－b22+ab=a22+b22+a+b22=3a22+3b223b22－a－b22=…，下面再看它的一個簡單應用.

例3 （1991年高考全國卷理科第24題）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）=－x3+1在（－∞，+∞）上是減函數.

證明：設x1

x1+x222+3x222>0，所以f（x1）>f（x2），即函數f（x）在（－∞，+∞）上是減函數.

三、結論

通過以上案例的分析可知，對于三次多項式函數的單調性，導數不是唯一的解決之道，我們完全可以利用單調性的定義探求嗎，具體解答時充分考慮配方法、二次函數、主副元法等的應用，而不需要特別高深的知識與技巧.筆者建議，把本問題以研究型活動的形式與學生一同探討，讓學生經歷完整的定義法判定單調性的思維過程，之后再與導數方法比較，才能更深刻的感受到導數工具的便捷性.同時通過探究活動，正本清源，澄清一些錯誤認識，也為學生提供一次訓練數學運算素養的大好機會.事實上，自從導數的概念和方法進入高中教材后，導數作為一種重要的工具，在判斷函數的單調性，求函數的極值、最值以及證明不等式方面發揮出勢如破竹般的巨大作用（相對傳統方法而言），顯示出獨有的魅力，用導數方法解決問題漸成“時尚”.但是，細究起來，用導數方法解決問題要求函數連續和可導，條件還是很苛刻的.幸好現在處理的函數大多數滿足這一條件.當函數不滿足這些條件時，導數方法豈不是“英雄無用武之地”了？

數學的活力在于最大限度地發揮想象力、創造力，不斷引進新觀念和新方法，不斷激發人們的觀察、比較、實驗和歸納的能力，通過持續精益求精，臻于嚴格化，致力于普適性，這種數學學科上的訴求對教學提出了更高的要求.在常規課堂教學中，若能以核心素養的知識創新水平為目標，將會極大程度地培養學生的創新精神，以數學的內在力量教育學生.