由事及理，讓數學容易起來

林樂

摘 要：以《反比例函數》的一節課例的教學設計為例，通過具體的教學步驟，從實際生活到數學理論，充分調動學生的課堂學習積極性，讓抽象的數學知識變得容易起來.

關鍵詞：參與學習；建模思想；具體到抽象

近期在反比例函數的公開課教學中，筆者有一些實踐和思考.現將本節課的教學設計整理出來，談一談“如何讓數學容易起來”的教學感受.

1 案例背景

這節課是章節的起始課，有著舉足輕重的作用.學生在此之前學習了一次函數，對函數已有了一定的理解.而本章考查的重點是反比例函數的概念、圖象和性質，往往有學生會覺得比較難，主要是因為函數考查的知識面比較廣，綜合程度比較高.

基于反比例函數的特點，可以在教學過程中，從學生現實生活中碰到的一些鮮活問題出發，由事例推導出理論知識，幫助學生解決問題，激發他們對數學的興趣，讓他們積極參與課堂互動，加深對反比例函數知識點的理解.在教學過程中，可以適當地對學生進行引導，讓學生在解決實際生活問題的同時，也理解了數學理論知識.這樣由具體到抽象，由事例到理論，讓學生覺得數學也不是那么難學.

2 案例描述

下面是《反比例函數》的教學設計：

2.1 創設情境，引入新課

（1） 南京與上海相距約300 km，一輛汽車從南京出發，以速度80 km/h開往上海，汽車行駛的時間為t（h），行駛的路程為s₁（km），汽車距離上海的路程為s₂（km）.寫出s₁與t、s₂與t的函數關系式.

（2） 南京與上海相距約300 km，一輛汽車從南京出發，以速度v（km/h）開往上海，全程所用時間為t（h）.寫出t與v的函數關系式.

（3） 用函數表達式表示下列問題中兩個變量之間的關系：

① 游泳池的容積為5000 m³，向池內注水，注滿水池所需時間t（h）隨注水速度v（m³/h）的變化而變化.

② 計劃修建一條長為500 km的高速公路，完成該項目的天數y（天）隨日完成量x（km）的變化而變化.

③ 一家銀行為某社會福利廠提供了20萬元的無息貸款，該廠的平均年還款額y（萬元）隨還款年限x（年）的變化而變化.

④ 實數m與n的積是-200，m 隨n的變化而變化.

活動預設：教師用PPT展示問題情境，學生自主探究問題中變量之間的關系，學生小組內交流后進行全班交流.

設計意圖：以探索實際問題中的數量關系和變化規律為背景，由第（1）題讓學生回憶起上學期學習的函數和一次函數，并能找出常量與變量，建立起一次函數的模型.而第（2）題中出現了不同于一次函數的模型，再由第（3）題建立并表示反比例函數的模型.在此過程中，讓學生體會學習新知的必要性，了解數學知識來源于實際生活，激發學生學習數學、解決實際問題的興趣.

2.2 合作交流，探究新知

將上面學生列出的四個函數關系式排列在一起：

問題1：請思考這四個函數關系式有什么共同點.

問題2：怎樣求反比例函數的自變量的取值范圍.

活動預設：由PPT呈現所得的四個函數關系式，學生通過觀察、思考、議論，類比一次函數或正比例函數，給出反比例函數的概念及自變量的取值范圍.

設計意圖：訓練學生的抽象思維能力，為給出反比例函數的定義做好鋪墊.抓住學生的認知規律，將原有的學習經驗遷移到新的學習中，感悟從特殊到一般的思想方法.反比例函數的自變量的取值范圍是對分式有意義的條件的深入，學生比較容易理解.

2.3 概念辨析，理解新知

給出一組習題，通過練習讓學生對反比例函數的概念進行辨析.

下列關系式中的y是x的反比例函數嗎？如果是，指出k的值.

講評預設：學生回答后，追問：（3）（5）是什么函數？并引導學生總結出反比例函數的三種等價形式：（其中k≠0）① y=k/x；② xy=k；③ y=kx^-1.

設計意圖：給出一組辨析題，旨在讓學生體會解決這類問題的關鍵是緊扣反比例函數的概念，即采用回歸定義法.③是把反比例函數的一般形式根據負整數指數冪的定義進行變形，在后續的有關題目中會有應用.②是把反比例函數的一般形式兩邊同乘x得到的，可以引導學生歸納出反比例函數的本質：兩個變量的乘積為定值.這樣，學生對反比例函數概念的學習經歷了：聽懂了—理解了—學會了—會學了，真正做到舉一反三、觸類旁通.學生積極參與學習，發現自己容易出錯的地方，相互提醒該注意的問題，這往往是對思維的一種提升.

2.4 例題教學，運用新知

例1 若y=（m+1）x^m2-2是反比例函數， 求此反比例函數的表達式.

例2 寫出下列問題中兩個變量之間關系的函數表達式，并判斷它們是否為反比例函數.如果是，寫出常數k的值.

（1） 面積是50 cm²的矩形，一邊長y（cm）隨另一邊長x（cm）的變化而變化.

（2） 一邊長為5 cm的三角形，面積y（cm²）隨這條邊上的高x（cm）的變化而變化.

（3） 汽車行駛了1000 m，車輪旋轉的周數n隨車輪的直徑D（m）的變化而變化.

（4） 體積是100 cm³的圓錐，高h（cm）隨底面面積S（cm²）的變化而變化.

活動預設：先由學生自主解答例1，再全班交流，展示學生的解題過程.再由小組討論例2，選派代表回答，教師即時點評.最后，在運用反比例函數概念的過程中，引導學生發表他們的收獲與感悟.

設計意圖：例1旨在完善學生反比例函數概念的構建，讓學生準確把握定義，體會概念中常數k≠ 0；例2引導學生從實際情境中抽象出函數關系式，識別一個函數是否為反比例函數，關鍵是理解反比例函數的本質.此外，學生通過板演或講解展示自己，勇于發表自己的觀點，鍛煉自己的表達能力，培養了嚴謹的思維方式；學生參與到數學問題的討論中，讓數學課堂“鮮活”了起來，通過傾聽他人的見解，在交流中獲益；學生學會了用函數思想去解決實際問題，體現了數學建模思想，也實現了知識向能力的轉化.

2.5 生活中的數學

對于y=300/x，你能否賦予它一個實際情境？

活動預設：由小組討論，選派代表回答，引導學生理解：同一個反比例函數表達式可以表示不同類型的實際問題.

設計意圖：本節課是由t=300/v引入的，再由y=300/x結束，體現了首尾呼應.通過討論，讓學生在各小組內各抒己見.有些文靜內向的學生在全班面前也許不愛發言，但在小組內可以放松下來，說出自己的想法；有的思維不太活躍的學生，在實際問題中也能說一說自己的見解，這充分體現了人人都參與到了課堂中，并讓數學課堂“靈動”起來.重要的是，這和前面的教學從特殊到一般正好相反，這是從一般到特殊的思想方法.另外，學生在此過程中，要學會如何將實際生活中的問題轉化為一個數學問題，然后用適當的數學方法去解決，進一步體現了建模思想.

2.6 回顧小結，布置作業

學生討論本節課的知識點、注意點及研究方法，教師完善本課的知識框架.

設計意圖：通過回顧反思，有意識地引導學生梳理所學知識、數學思想和方法，培養學生善于反思的良好習慣.特別是通過板書的呈現，使學生在認知結構上得到完善，在整體認識上得到升華.

3 案例反思

3.1 建立生活中的反比例函數模型，由事及理，讓數學容易起來

反比例函數在生活中有很多現實模型，本課例從開課階段就選取了教材及相關資料上的生活現實事例，讓學生提煉出反比例函數的一般形式，從而滲透建模思想.在學生原有認知（函數概念、一次函數概念）的基礎上，通過問題情境，讓學生自主感知概念；通過觀察討論，讓學生類比一次函數構建出反比例函數的概念；通過一組辨析題，使學生強化概念；通過例題分析，讓學生運用概念；通過編織實際情境，讓學生鞏固、升華概念.

建模思想實際上就是從實際問題中建立起數學問題，再通過解決數學問題達到解決實際問題的目的.數學源于生活，又為生活服務.學生體驗了從生活中的具體事例到數學理論，從特殊到一般的研究過程，體會了反比例函數是解決實際問題的又一數學模型.同時學生也感悟了從特殊到一般，從具體到抽象的數學思想.

3.2 激發學生的學習主動性，讓數學容易起來

德國著名教育家卡爾·威特曾說過：“教育的秘訣在于喚起孩子的興趣和熱情.”興趣是最好的老師，一旦學生專注于問題探索的興趣，就會主動投入學習之中.

教師要營造輕松活潑的學習氛圍，開拓學生活躍的思維，引導學生在課堂活動中感悟知識的生成、發展與變化，充分調動起學生的積極性，讓學生成為學習的主人.

學生在課堂中興趣盎然，熱情高漲，以一種輕松愉快的心態投入學習中，效果是不言而喻的.在課堂中評價方式也是多元的，生生之間、師生之間、小組之間的交流作用各不相同.這樣既培養了學生的個人學習能力、語言表達能力、思考問題能力，也培養了學生團隊合作的能力.教師的鼓勵、同學間的贊許都會成為學生前進的動力.

在先進的教育理念指導下，教師要讓學生在“樂中學”，讓他們覺得學習數學其實也是一件愉快的事情，慢慢也會更容易喜歡學習數學.當然，這就對教師教育工作者提出了更高的要求，教師對教材和學生要充分了解和熟悉，以不變應萬變，做到張弛有度，收放自如.

學無止境，教無止境，教師要讓數學容易起來，這不僅僅要訓練學生的思維，教會他們考試的技巧，還要讓學生喜歡數學，讓他們對數學在生活中的應用更加深刻，讓他們的思維更加敏銳，從而進一步提升他們學習數學的能力.