解題教學的追求

吳奇進

摘 要：“雙減”背景下，很多初中都有延時服務、晚自習作業輔導的習慣，這也使得作業講評成為教師更需面對的一個“現實課題”.在課題研究中，我們發現不少教師誤以為作業講評就是訂正結果、核對過程，這樣的解題教學往往只是讓學生學會了解一道題，若能在課前針對待講評的習題問題進行變式改編、同類鏈接，則可以引導學生深度學習，幫助學生從會解一道題邁上會解一類題，進一步培養學生知識遷移、舉一反三的高階思維，提高學生的學習效率，提升學生的數學核心素養，提增教師解題教學效益.

關鍵詞：解題教學；變式教學；成果擴大；回顧小結

1 從一次作業講評的聽課說起

最近參與學校教導處組織的“推門聽課”活動，聽了一位“職初教師”（工作僅兩年）的作業講評課，其中該教師對一道習題的講評還有繼續優化的必要.以下先給出教師的講評記錄，再圍繞該題給出教學再設計.

教師對學生的講解很滿意，追問其他同學“有沒有聽懂”，不少學生表示理解了之后，就繼續訂正下一道習題.但是筆者坐在教室后面，查閱了后面兩排的一些學生的聽課筆記，基本上還是空白，這些學生都沒來得及記錄上述過程，從他們的表情看得出仍然沒懂，他們只是“端坐”著認真聽講，既沒來得及記錄一些關鍵步驟，也沒有在圖形上進行必要的標注.

聽課隨感：這種講評方式，只是一種“核對答案式”的講評，沒能促進學生對這道題達到深刻理解的程度，可見教師本人在課前并沒有對這道習題的解法及變式問題進行深入思考，所以在課堂上就沒有能做出必要的變式或深度講評.以下給出筆者對這道習題的解題教學微設計.

2 對“習題”教學的問題設計重構

教學環節（一） 習題講評

出示“習題”，安排學生講解思路之后（如上文聽課所見），教師安排另一個學生再次復述思路，讓更多的學生有足夠的時間理解或做必要的解題筆記.在此基礎上，將問題簡化為以下問題，讓學生對問題的結構看得更清.

簡化問題：如圖2，AM是△ABC的中線，點N在△ABC內部，且∠ABN＝∠ACB，MN∥AC.求證：∠BAN＝∠CAM.

教學預設：學生在“習題”思路的啟發之下，應該容易想到延長BN交AC于E，如圖3，接下來證明思路就與上文一樣.通過“刪減”圓之后，讓學生在簡化圖形中看清問題結構，有利于學生對這道題的本質有一個更深刻的認識.

教學環節（二） 變式呈現

變式問題：如圖2，AM是△ABC的中線，點N在△ABC內部，∠BAN＝∠CAM，∠ABN＝∠ACB.求證：MN∥AC.

“成果擴大”問題：如圖5，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別在邊BC，AD上，連接AE，BF交于點G，連接OG.若∠BAE＝∠CAD，∠ABF＝∠CBD.

（1） 判斷OG與AD的位置關系，并說明理由.

（2） 求證：AE，BF互相平分.

（3） 請再提出一個問題，并說說解題思路.

教學預設：這是對原問題進行的進一步包裝、改編，以平行四邊形為背景呈現，O為BD中點，“兩組角相等”的題設與“變式問題”是一致的，提出的兩個問題也與之前的設問保持一致.最后安排學生再提出一個問題，可以促進學生對這個圖形中的結論有深入的研究和分析，比如AF＝BE，又如連接EF，則四邊形ABEF是平行四邊形，再如AB²＝AF·AD，等等.

教學環節（四） 回顧小結

小結問題1：學習上面的習題及變式題組之后，你覺得處理這類問題的關鍵是什么？你積累了哪些解題經驗？先在小組內交流，每個小組再選派一名代表到全班匯報展示.

小結問題2：本課從一道圓的習題出發，然后簡化為三角形問題，最后還包裝成平行四邊形，你覺得不變的是哪些關鍵步驟，它們之間有怎樣的聯系？

教學組織：預設以上兩個小結問題是引導學生學會回顧和反思，將問題的深層結構、本質特征、關鍵步驟看得更清，達到深刻理解的程度.這個小結的教學環節至少要安排5分鐘左右.

3 關于解題教學的問題設計進一步思考

3.1 解題教學要重視同類鏈接、舉一反三

針對一些較難題的講評不宜只是“核對答案”，如果像上文聽課所見的“職初教師”這樣，只讓優秀學生展示了自己的解法、過程，本質上是“以學生講代替了教師的講”，很多情況下，往往還不如教師自己講.南京大學哲學系鄭毓信教授關于解題教學的關鍵，曾強調要重視“問題的歸類與辨識”^［1］.筆者在解題教學中十分重視問題的歸類呈現、同類鏈接，引導學生在舉一反三中實現“解一題、會一類”的教學效益.當然，這就需要教師本人在課前針對較難題要有深入的研究和同類習題的檢索與搜集，這些功夫更多的是平時對典型習題的研究和歸類收集.人們常說“書到用時方恨少”，解題教學的備課也是“題到用時難找齊.”

3.2 解題教學要引導學生識別“等價問題”

很多教師在開展解題教學都非常重視變式教學，特別是鏈接一些同類習題進行鞏固訓練，這對于提高學生同類問題的解題能力當然是有價值的.然而，通過變式教學促進學生學會轉化、善于簡化并識別“等價問題”才是解題教學更值得重視的教學目標.

美國著名數學家、1986年菲爾茲獎得主M·弗里德曼所說“解題就是把題歸結為已經解過的題”^［2］.上文我們在“解題教學微設計”中，給出了簡化問題、變式問題以及“成果擴大”問題，教學立意就是引導學生在這些系列題組的訓練之后，學生能從這些“形異問題”識別“結構相同或相近”的問題，從而實現從“學解一道題”到“會解一類題”再到“學會解題”的教學追求.

3.3 解題教學在回顧小結時追求深刻理解

解題教學要重視解后回顧與反思環節，教師在課前就要精心預設小結問題，小結問題要在貼近解題教學過程中的關鍵步驟、易錯點或解題經驗進行設計，不宜提一些“空”“大”“泛”的小結問題，比如“這節課你學到了什么”“這節課你感悟了什么思想方法”之類.小結問題除了課前的精心預設之外，還可圍繞課堂生成進行“即時預設”，比如，課堂中學生想出了課前預設之外的優秀解法或繁雜解法，小結時可以從這些課堂生成出發，引導學生進行對比，在比較中學會優化，“擇優而從”.總之，解題教學的回顧小結環節，主要是促進學生對問題有更加深入的理解，特別是從某道習題的解題步驟的掌握邁上對一類問題的解題方法或轉化策略的積累.

參考文獻：

［1］ 鄭毓信.中學數學解題教學之我見（續）［J］.中學數學月刊，2020（11）：14.

［2］ M·弗里德曼.怎樣學會解數學題［M］.陳淑敏，尹世超，譯.哈爾濱：黑龍江科學技術出版社，1981：79.