借助圖形變換，建立數(shù)學(xué)模型，解決動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題

王建順

在學(xué)業(yè)水平測(cè)試復(fù)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常遇到求動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值問(wèn)題，學(xué)生往往不能很好地解決，究其根本原因，學(xué)生對(duì)變化的點(diǎn)或圖形存在畏難心理，不能發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)，筆者希望通過(guò)本文引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，達(dá)到“知其一，得其多”效果，從而提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力和思維品質(zhì)。

一、一動(dòng)點(diǎn)，兩定點(diǎn)異側(cè)

問(wèn)題1：有一條河l，河的兩側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)在要在河上修一個(gè)水站P，當(dāng)P在何處時(shí)，使得PA+PB最短？

學(xué)生借助兩點(diǎn)之間線段最短，連接AB與l交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)。讓學(xué)生形成解決兩點(diǎn)異側(cè)動(dòng)點(diǎn)最小值問(wèn)題的基本模型。

變式訓(xùn)練：有一條河l，河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)在要在河上修一座橋PQ，當(dāng)PQ在何處時(shí)，使得PA+PQ+QB最短？

本題難點(diǎn)在于首先要將點(diǎn)A平移線段CD的距離到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1，找到點(diǎn)Q，剩余的問(wèn)題順理成章。

二、一動(dòng)點(diǎn)，兩定點(diǎn)同側(cè)

問(wèn)題2：有一條河l，河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)在要在河上修一個(gè)水站P，當(dāng)P在何處時(shí)，使得PA+PB最短？

本題學(xué)生解決起來(lái)問(wèn)題不大，利用軸對(duì)稱這一圖形變換，找到A的對(duì)稱點(diǎn)A，轉(zhuǎn)化為問(wèn)題1的基本模型來(lái)解決。

變式訓(xùn)練：有一條河l，河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)在要在河上找到兩點(diǎn)P、Q，使得PQ=EF且AP+PQ+QB最短？

本題難點(diǎn)在于將點(diǎn)A向右平移到A，然后利用問(wèn)題2的模型找到點(diǎn)P，問(wèn)題相應(yīng)解決。

問(wèn)題3：有一條河l，河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)在要在河上修一個(gè)水站P，當(dāng)P在何處時(shí)，使得|PA-PB|最??？

當(dāng)PA=PB時(shí)，|PA-PB|最小為0。

問(wèn)題4：有一條河l，河的同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，現(xiàn)在要在河上修一個(gè)水站P，當(dāng)P在何處時(shí)，使得|PA-PB|最大？

當(dāng)PA與PB共線時(shí)，|PA-PB|最大。原因是當(dāng)不共線時(shí)，PA、PB、AB組成三角形，由兩邊之差小于第三邊，此時(shí)|PA-PB|

三、兩動(dòng)點(diǎn)

問(wèn)題5：在∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)C，在OA上找一點(diǎn)P，在OB上找一點(diǎn)Q，使得CP+PQ最短。

利用問(wèn)題2的模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線最短的問(wèn)題，即垂線段最短的問(wèn)題過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥OB交OA于點(diǎn)P，P、Q即為所求點(diǎn)。

問(wèn)題6：在∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)C，在OA上找一點(diǎn)P，在OB上找一點(diǎn)Q，使得△CPQ的周長(zhǎng)（CP+PQ+QC）最短？

利用兩次軸對(duì)稱，將點(diǎn)C轉(zhuǎn)化為C、C，這樣回到問(wèn)題1的模型，兩點(diǎn)之間線段最短。

四、三動(dòng)點(diǎn)

問(wèn)題7：△ABC中有一點(diǎn)P，當(dāng)P在何處時(shí)，PA+PB+PC最?。?/p>

利用旋轉(zhuǎn)，將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)△PPC為等邊三角形，將PC轉(zhuǎn)化為PP，當(dāng)PB、PP、PA在一條直線上時(shí)，PA+PB+PC最小。如何找到點(diǎn)P呢？當(dāng)PB、PP、PA在一條直線上時(shí)，∠BPC=120°，如何作圖使∠BPC=120°呢？

分別以AB、AC為邊向外坐等邊三角形△ABD和等邊三角形△ACE，連接DC和BE交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)。原因是根據(jù)

∵∠BAD=60°，∠EAC=60°

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC

即∠CAD=∠BAE

∵AD=AB，AE=AC? ? ? ∴△CAD≌△EAB

∴∠ADC=∠ABE

∵∠ADC+∠BDP=60°

∴∠ABE+∠BDP=60°

∴∠BPC=∠ABD+∠ABE+∠BDP=120°

綜上所述，在解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的最值時(shí)，應(yīng)考慮基本初等變換（平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)），將動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短模型，或垂線段最短模型來(lái)解決，筆者只是拋磚引玉，希望能對(duì)中考復(fù)習(xí)起到幫助。