母題研究之二次函數圖象與性質教學片段

畢結貞

摘要：初中函數問題涉及的圖象、性質較多，考查題型形式多樣，課程實施采用母題探究的形式，有利于挖掘學習線索與數學本質。筆者以“二次函數的圖象與性質”的教學設計為例，通過由淺入深、層次性、廣延性的數學問題，引導學生從母題出發開展探索研究。

關鍵詞：母題? 變式? 二次函數? ?圖象與性質

《九章算術》中“以類合類”“以類推類”的數學邏輯思想具有以類為基礎，以類為出發點，推以類之等特點，受這一特征影響下的中國數學課程改革形成了注重一題多解、一題多變、多題多解，變中有不變的數學教學思想。教師可以核心素養為導向，從教材出發，從學生的認識出發，選擇教材母題，深究其蘊含的數學核心素養，并以此為主線設計變式。

《二次函數的圖象與性質》是九年級上冊第26章的內容，學生之前已經學習過一次函數的圖象與性質，會建立二次函數模型和理解二次函數的有關概念，所以它既是對前面所學一次函數圖象與性質知識的一次升華，又是今后學習《二次函數的應用》的預備知識，又為學生高中階段學習一元二次不等式和圓錐曲線奠定基礎，所以它在教材中起著非常重要的作用。本節課最大特點是結合圖形來研究二次函數的性質，這充分體現了一個很重要的數學核心素養——數形結合數學思想。

1 教學過程

1.1 出示“母題”，復習二次函數的對稱性

母題（人教版九年級上冊第47頁第4題）：拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點是（-1，0），（3，0），求這條拋物線的對稱軸。

考查知識：1.拋物線的對稱性；2.二次函數的圖象與性質。

思路分析：拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，利用對稱軸公式[x=x1+x22]求得兩交點線段中點坐標，進而求得對稱軸。

核心素養：通過拋物線上的兩個特殊點（縱坐標為0），體現其圖象的對稱性，理解函數與對應方程的關系，理解函數圖象與表達式的對應關系，增強幾何直觀，會用函數表示簡單規律，讓學生經歷用語言表達數學問題的過程，提升學生學習數學的興趣，發展應用意識。

教學過程：

師：坐標軸與（-1，0），（3，0）這兩個點有什么關系？

生：坐標軸會經過（-1，0）和（3，0）之間的中點。

師：中點坐標怎么求？

生：[x1+x22]，所以（-1，0）和（3，0）之間的中點為[（-1+32，0）]，即[（1，0）]。

師：所以母題考查了二次函數的什么性質？

生：關于坐標軸對稱。

歸納總結：本母題的對稱點以坐標的形式出現，具有典型性與代表性，且緊扣新課程標準，在變式訓練中對稱點以不同的形式出現可加強學生對拋物線對稱性知識點的內化，加深對二次函數其他性質的理解。

1.2 改編拓展，引出二次函數的多種性質

變式1：已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸相交于點A，y與x的部分對應值如下表：

（1）直接寫出拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標及點A的坐標；

（2）在給出的坐標系中畫出該函數圖象的草圖。

考查知識：1.畫出二次函數草圖；2.根據表格分析出變量的信息，進一步得到函數的性質

設計意圖：通過對稱軸在知識網絡中存在的另一種形式，以表格呈現給學生，落實課標中要求的會利用一些特殊點畫二次函數草圖，找對稱軸，理解函數圖象與表格之間的對應關系，提升應用意識，幾何直觀、數形結合能力、邏輯推理能力以及模型思想。教師在其間起引導作用，引導學生從“數”轉化為“形”，通過“形”除了可得到二次函數關于對稱軸對稱的性質外，還可觀察出拋物線的開口，分析出其頂點坐標及其與y軸的交點坐標，提升學生的數據整理及分析的能力。

練習1：已知二次函數y=ax2+bx+c中的y與x的部分對應值如表所示．

根據表中的信息，給出下列四個結論：

①拋物線的對稱軸是直線x=1；

②拋物線的頂點坐標是（1，3）；

③當x=3時，y的值為-3；④若點A（-2，y1），點B（-3，y2）兩個點都在拋物線上，則y1＞y2，其中正確結論的個數是（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

考查知識：二次函數的對稱性、頂點以及增減性。

設計意圖：本環節旨在讓學生運用變式一總結的觀察表格的方法，畫出二次函數的草圖，判斷函數的對稱性、頂點坐標以及單調性，鼓勵學生大膽發言，通過練習，讓學生對表格的觀察與分析有一個更深刻的理解與認識，并能靈活地解答二次函數相關性質的題目。

變式2：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（-1，0），其部分圖象如圖所示，下列結論：①4ac＜b2；②a-b+c＜0；③b+2a=0；④當y＜0時，x的取值范圍是-1＜x＜3；⑤當x＜0時，y隨x增大而增大；⑥方程ax2+bx+c=2有兩個不等的實數根，其中結論正確的序號是_________。

考查知識：1.拋物線的對稱性；2.二次函數一般式的對稱軸公式；3.二次函數與一元二次方程、一元二次不等的關系。

設計意圖：對稱軸以圖象的形式呈現給學生，讓學生找出拋物線與x軸的另外一個交點的坐標，學生經歷讀圖過程中，學會多維度地識圖讀圖，學習一般的提取圖象信息的方法，學會對獲得的信息進行歸類，并納入知識框架體系，感受數形結合、轉化思想在問題解決中的應用，提高學生直觀想象的素養。

練習2：如圖所示是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（3，0），二次函數圖象對稱軸為直線x=1，給出五個結論：①bc＞0；②a+b+c＜0；③當x＜1時，y隨x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0的根為x1=-1，x2=3；⑤4a-2b+c＞0其中正確結論是（）

A.①②③ B.①③④

C.②③④ D.③④⑤

考查知識：1.二次函數系數與圖象形狀和對稱軸關系；2.求圖象與坐標軸的交點坐標。

教學說明：運用變式二總結的觀察圖象的方法，進一步加強圖象與二次函數各個系數關系知識點的內化。

變式3：如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于M點。

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）設點P是直線l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求PA+PC長；

（3）設點P是直線l上的一個動點，當PA-PC的值最大時，求P的坐標.

考查知識：1.待定系數法求二次函數解析式 2.“將軍飲馬”模型的應用；3.三角形兩邊之差小于第三邊。

設計意圖：本體為二次函數性質的拓展題，主要考查二次函數的綜合應用，《課程標準》指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。變式3有意識地通過類比、探索等形式讓學生感知“將軍飲馬”模型以及三角形三邊關系在二次函數中的應用，抽象出相應的數學關系和變化規律等，進而抽象出數學問題。

1.3布置作業，強化知識

2 教學反思

在《義務教育數學課程標準》（2022年版）中提到：函數的教學要通過對現實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義；要引導學生借助平面直角坐標系中的描點，理解函數圖象與表達式的對應關系，理解函數與對應的方程、不等式的關系，增強幾何直觀。

本節課，從一道母題出發，引出的四道變式，其中“母題”的兩個對稱點是以文字形式出現，變式一是以表格的形式出現，變式二是以圖形的形式出現，變式三也是圍繞著對稱性的一道拔高題，求解的過程中也復習了二次函數的其他相關的性質，由易至難、由淺人深，學生在“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，這種母題變式教學模式，從很大程度上控制了題量，符合減負的要求。在講解完每個變式后，歸納總結變式與母題、變式與變式之間有什么聯系，達到復習二次函數的圖象與性質的目的，深刻地認識二次函數的相關性質，并通過圖象和表格總結歸納出來，讓學生認識到母題課的重點。

本節課課堂氣氛活躍，教師通過綜合運用多種教學方法，讓學生分享解題過程，鼓勵其他學生質疑、完善、創新，發展學生的學科核心素養能力，充分調動學生積極參與課堂，使現代數學教學新課程理念得以落實，真正地讓學生成為課堂的主體。