不同應力路徑下孔隙比對于飽和砂土塑性應變影響的理論研究

段秋宇，戚承志，王皓楠，封焱杰，羅伊，馬嘯宇

（1.北京建筑大學北京未來城市設計高精尖創新中心，北京100044；2.北京建筑大學北京城市交通基礎設施建設國際合作基地，北京100044；3.北京建筑大學土木與交通工程學院，北京100044）

1 引言

砂土作為自然界中常見的顆粒介質， 具有復雜的彈塑性變形特性， 且在其變形過程中， 表現出顯著的應力路徑相關性。 天然地基下的飽和砂土通常會受到復雜的加載卸載而發生變形，因此，研究砂土在不同應力路徑下的變形特性，并應用于工程實際， 對于土力學的發展具有重要的理論意義和應用價值。

1976 年，LAMBE[1]首次提出應力路徑方法（stress path method），定義應力路徑概念為“以單元劃分土體，土體單元最大剪切應力點從一種應力狀態變換到另一狀態的軌跡”。 隨后，國內外學者圍繞應力路徑相關問題進行了大量試驗研究，得出了一系列重要結論。 BRETH[2]研究了泊松比和初始彈性剪切模量受應力路徑的影響規律。 LADE 和DUNCAN[3]的研究通過觀察卸載再加載的過程，表明砂土應力-應變曲線受應力路徑的影響。劉祖德等[4]通過對多種應力路徑條件下砂土和黏土的三軸試驗， 揭示了填土的應力應變特性受應力路徑影響。沈珠江等[5]通過對4 種應力路徑下標準砂的三軸試驗結果分析， 驗證了應變總量和應變增量方向的唯一性假設的適用性。

在砂土本構模型的研究方面，姚仰平等[6]在UH 模型（Unified Hardening，統一硬化模型）的基礎上，引入壓硬性參量、剪脹性參數、臨界狀態參量，建立了砂土的UH 模型，并通過數值模擬驗證了模型的合理性， 該模型不同于依靠試驗數據直接建立的本構模型，具有牢固的力學基礎，易于被進一步擴展，但是循環荷載、部分排水等復雜應力路徑對砂土應力應變關系的影響沒有考慮。同時，羅汀等[7]提出雙硬化概念，將影響砂土塑性變形的硬化參量分為耦合與非耦合兩部分， 提出了飽和砂土的雙硬化本構模型。 該模型可以分別考慮應力路徑和應變路徑對砂土應力應變特性的影響，除排水條件外，還能預測不排水、部分排水和部分吸水條件下的應力應變關系，但該模型對于應力路徑從不同初始狀態點出發對砂土應變影響規律的研究還未考慮。

不同應力增量方向是應力路徑的一種特殊形式。 砂土從同一狀態點出發，沿不同應力增量方向進行加載時，砂土的塑性應變不同， 這就是不同應力增量方向對砂土變形特性的影響。 對于巖土材料而言，應力路徑影響塑性變形，彈性變形僅受應力狀態的影響。 王碩等[8]提出的雙屈服面本構模型，將傳統雙屈服模型中的應力洛德角方向的剪切屈服面和體積屈服面分別用作雙屈服面， 該模型能夠反映應力增量方向與塑性應變增量方向具有一定的相關性， 但對于二者之間具體的對應關系還需進一步研究。施維成等[9]針對傳統彈塑性模型的塑性勢面應用于巖土材料中的缺陷， 提出了連續漸變塑性勢面模型和塑性勢面區域的概念， 進一步反映了應力增量方向和塑性應變增量方向的相關性。 郭云鵬等[10]對不同應力增量方向這一特殊應力路徑進行了福建標準砂的三軸試驗， 得到了福建標準砂在不同應力增量方向時的變形規律。 以上的理論和試驗研究表明， 應力增量方向對于砂土變形特性具有一定影響，但是相應的理論模型尚未建立。 因此，本文針對不同應力增量方向這一特殊應力路徑進行研究， 考慮孔隙比對于飽和砂土塑性應變影響，以文獻[10]中開展的關于福建標準砂的三軸試驗結果為基礎， 建立可以表示不同應力增量方向下飽和砂土塑性應變的理論模型，并使用MATLAB 軟件進行模型的適用性分析。

2 飽和砂土變形特性的應力路徑相關性研究

2.1 砂土變形的細觀機制

由于砂土材料在變形過程中受各種復雜因素的影響，想要通過一種方式全面考慮各種因素對砂土變形特性的影響是不現實的，只能通過研究主要影響因素得出一定的結論。 姚仰平等[11]對日本Toyoura 砂三軸試驗結果進行分析，得出結論：應力比η（η=q/p。p 為壓力；q 為剪力。）是造成應力路徑對塑性應變影響的主要因素。 文獻[12]從砂土變形的細觀機制出發，給出砂土變形細觀機制簡圖（見圖1）。簡圖取4 個單位長度的圓形鋼性棒作為一個單元體進行研究， 分析了其變形的細觀機制，定性地研究了砂土變形的宏觀現象。

如圖1 所示， 當顆粒單元體由狀態1 變到狀態2 再變到狀態3 時，孔隙比先增大后減小，對應宏觀砂土土體先剪脹后剪縮。設與主應力σ1相對應的外力為F1、F2，與主應力σ3相對應的外力為F3、F4，如圖2 所示，其中F1=F2，F3=F4。

圖2 顆粒單元體受力分析簡圖

2.1.1 主應力比σ1/σ3與θ 之間的關系及孔隙比e 的確定

文獻[12]根據顆粒的受力平衡條件、摩擦定律和牛頓定律，推導出主應力比σ1/σ3與θ 之間的關系，其中θ=∠O1O2O3，如圖2 所示。該角度大小可以描述單元體的結構構成，且反映單元體的應力比和孔隙比的大小，其與主應力比之間的關系如下：

式中，tanφm為顆粒表面摩擦系數， 對于給定砂土，tanφm為常量。

文獻[12]根據顆粒單元體計算孔隙比e。假設單位長的4 根圓棒軸心線圍成的柱體為單元體，半徑為r，單元體總體積v為：

此時圓棒體積為v1：

因此，根據式（2）和式（3）可得孔隙比為：

式中，v2為孔隙體積。

可得出：

2.1.2 應力比η 與孔隙比e 的關系

根據三軸對稱情況可得：

由式（6）可以看出，應力比η 與主應力比σ1/σ3有著一一對應的關系。 由式（1）可以看出，主應力比σ1/σ3與θ 相關；由式（4）和式（5）可以看出，孔隙比e 與θ 相關。 由此得出結論：孔隙比e 與主應力比σ1/σ3一一相關， 又根據主應力比σ1/σ3與應力比η 的相關關系， 可得出孔隙比e 與應力比η 的對應關系。 因此，宏觀砂土發生塑性變形的主要原因可理解為：顆粒單元體中θ 發生改變，導致孔隙比e 發生變化。 由此可得，砂土變形特性的應力路徑相關性主要原因在于孔隙比發生改變。

密砂和中密砂的變形過程是先發生剪縮后發生剪脹，先硬化后軟化。 根據式（1）、式（5）和式（6）推算出砂土發生剪縮和剪脹時，應力比η 與θ 的關系式函數f，函數f 體現了應力比η 與θ 的對應關系：

根據式（7）可求出某一應力比η 對應的θ，再由式（4）可知此時對應孔隙比es，應力比與孔隙比關系見式（8）：

2.2 不同應力路徑下飽和砂土應力應變特性理論模型的研究

2.2.1 飽和砂土的雙硬化彈塑性本構模型

羅汀等認為， 在運用彈性理論計算巖土材料的彈性應變時，球應力僅引起彈性體應變增量，剪切應力僅引起彈性剪應變增量，而巖土材料的塑性應變增量不具有簡單的對應關系，要考慮球應力與剪切應力分別對剪切和壓縮的耦合作用，即球應力不僅會引起塑性體應變增量， 也會引起塑性剪應變增量，剪切應力不僅會引起塑性剪應變增量，也會引起塑性體應變增量。 劍橋模型通過建立剪脹方程表示這種耦合作用。NAKAI[13]的試驗表明，復雜應力路徑下剪脹方程與應力路徑密切相關。 因此，為考慮應力應變特性的應力路徑相關性，假定塑性體應變分為與塑性剪應變有耦合作用和無耦合作用兩部分。 在UH 模型的基礎上將硬化參量H 分為耦合硬化參量Hc和非耦合硬化參量Hunc，如式（9）所示[14]：

其中：

式中，M 為特征狀態點應力比；Mf為峰值應力比；為耦合塑性體應變增量；為非耦合塑性體應變增量；p0為初始應力；e0為初始孔隙比；μ 為耦合系數，為土的特性指標，可根據不排水條件下的特殊應力路徑求出。

由此， 塑性應變增量可以表示為由非耦合硬化產生的非耦合塑性應變和耦合硬化產生的耦合塑性應變二者之和：

又通過對式（11）進行微分得非耦合塑性體應變增量為：

分析式（14），影響非耦合塑性體應變增量的因素只有平均正應力，與剪應力不相關。而非耦合塑性剪應變增量為0，即：

故塑性應變為：

此時剪脹方程為：

將式（14）～（16）代入剪脹方程式（17），得到該模型的總剪脹方程為：

由式（18）可以看出，總剪脹方程中由耦合硬化引起的剪脹方程部分與應力路徑無關， 但是非耦合硬化引起的塑性體應變增量與塑性剪應變增量之比體現了應力路徑相關性。

根據UH 模型[15]，將分解后的耦合硬化參量[式（10）]、非耦合硬化參量[式（11）]兩部分代入其屈服函數中，得雙硬化彈塑性本構模型的屈服函數如下：

式中，λ 為壓縮系數；κ 為回彈系數。

2.2.2 不同應力路徑下飽和砂土塑性應變理論模型的建立

文獻[7]提出的飽和砂土雙硬化彈塑性本構模型，只能在確定的初始應力狀態點下推導出不同應力路徑下砂土的應力應變關系，而對于任意初始應力狀態點下飽和砂土的應力應變特性尚未給出具體處理方法。 根據本文2.1 節砂土變形的細觀機制分析可知，應力比的變化引起砂土變形的細觀原因在于不同應力比條件下孔隙比發生變化，因此，孔隙比是影響砂土變形的主要原因。 本文考慮孔隙比因素的影響建立能夠描述砂土塑性應變的理論模型。

根據式（7）、式（8）可知，應力比與孔隙比具有一一對應關系，當得知某一狀態點的應力比，就可推算出此應力比對應的孔隙比es。 為了考慮孔隙比es變化對于材料塑性變形的影響，本文將由式（7）、式（8）得出的與應力比對應的孔隙比es代替初始孔隙比e0引入雙硬化彈塑性本構模型的屈服函數式（19）中，得出新屈服函數：

式中，ps為任意狀態點對應的正應力；es為ps對應的孔隙比。

改進屈服函數后耦合硬化引起的塑性應變增量計算如下。

對式（20）進行全微分：

得出改進后雙硬化本構模型塑性應變增量：

由式（7）、式（8）計算任意狀態應力比對應的孔隙比的方法，相對于運用壓縮回彈曲線計算孔隙比更加簡便。 上述改進后的雙硬化彈塑性本構模型， 可以表示從任意初始狀態點出發不同應力路徑下飽和砂土的應力應變關系， 為研究不同初始狀態點或不同應力路徑下飽和砂土的應力應變行為提供理論基礎。

3 模型預測及與試驗結果比較

文獻[10]對飽和福建標準砂進行了固結完全排水三軸試驗，加壓屬于低圍壓范圍。進行本文模型預測時以工況4（對應初始應力p=450 kPa，q=500 kPa）為例，取應力方向角為、兩種情況進行模擬比較。 文獻[10]中飽和福建標準砂基本土性參數為：比重G=2.60 g/cm3，泊松比υ=0.32，等向壓縮指數λ=0.0089，回彈指數κ=0.00667，峰值應力比Mf=1.45，特征狀態點應力比M=1.16，取顆粒表面摩擦系數tanφm=0.4；工況4 中B 點對應應力比η=1.11。 運用MATLAB 軟件編程，代入上述參數，對本文提出的新模型方程式（22）進行數值分析，得出結果如下：圖3、圖4 分別為應力增量方向角為120°、145°兩種情況下， 塑性剪應變和塑性體應變隨應力比變化的本文模型預測結果與試驗結果比較圖。

圖3 關系結果對比

圖4 關系結果對比

由圖3 和圖4 可知， 本文模型模擬預測結果與飽和福建標準砂的三軸試驗結果基本吻合。 對比結果說明，本文提出的考慮不同應力比對應不同孔隙比的模型能夠合理預測飽和砂土在不同應力路徑下的塑性應變。

4 結論

本文通過分析砂土變形的細觀機制， 在砂土的雙硬化彈塑性本構模型基礎上，考慮到應力比與孔隙比的對應關系，提出一種新的砂土彈塑性本構模型， 并與福建標準砂三軸試驗結果進行了對比。 主要結論如下：

1）通過簡化砂土細顆粒單元體，得到宏觀應力比與孔隙比之間的對應關系。 相較于利用壓縮回彈曲線計算孔隙比，該方法更簡便、直接。

2）本文模型的數值模擬、預測結果與試驗結果符合，本文模型能夠合理預測飽和砂土在不同應力路徑下的塑性變形。

現有的關于飽和砂土變形特性應力路徑依賴性理論模型的研究，更多的是針對某幾種特定的比較簡單的應力路徑，如常規三軸不排水和三軸排水應力路徑， 對于其他復雜應力路徑下砂土變形特性的理論模型研究還需進一步深入。 另外，考慮其他因素，如動靜荷載、高低圍壓等對于不同應力路徑下砂土變形特性的影響也值得更加深入地研究。