基于數據包絡法和向量夾角余弦的海綿城市建設績效評價

劉 萍，張 楠

（1.河南建筑職業技術學院 土木工程系，河南 鄭州 450064；2.黃河水利科學研究院，河南 鄭州 450003）

近幾十年來，我國城市下墊面硬化面積急劇增加，加之極端天氣事件時有發生，使得一二線城市經常出現“城中看海”“小區孤島”災害情景［1］。據相關材料統計，1990—2019 年我國年均洪澇災害直接損失高達1 522 億元［2］。為降低洪澇災害損失，打造自然蓄水、自然滲透、自然凈化的海綿城市，提高城市抗洪澇能力，2015 年我國提出建設海綿城市，并選擇近30 個城市作為試點［3］。隨著首批海綿城市項目結束，開展海綿城市建設績效評價，總結海綿城市建設經驗，對于后續海綿城市建設具有重要指導意義。

近年來，國內外學術界在海綿城市概念及規劃設計領域開展了深入討論。Pickett 等［4］重點討論前期設計階段對海綿城市排水的影響；Loperfido 等［5］研究了分布式雨水管理和集中式雨水管理對城市雨水徑流的影響，認為分布式雨水管理更能改善城市雨水徑流，提升海綿城市排水能力。關于海綿城市建設績效評價，翟慧敏等［6］以鶴壁市海綿城市建設為例，提出層次分析法和物元可拓模型的海綿城市建設績效評價方法；張涵等［7］詳細分析美國景觀績效評價中關于雨洪管理的成果，并結合國內《海綿城市建設評價標準》，整理匯總適合國內海綿城市建設績效評價的指標體系；盧金山等［8］分析了6 種常見的海綿城市建設績效評價方法，并指出每種方法的優缺點和適用范圍；吳京戎等［9］以DPSIR 模型為基礎構建海綿城市建設績效評價指標，采用系統動力學動態評價和預測海綿城市建設績效。為解決層次分析法賦權主觀性對評價結果的不利影響，付永飛等［10］提出層次分析法和熵權法組合賦權的方式確定指標重要性，結合物元可拓模型評價海綿城市建設績效。為解決指標模糊性問題，丁琨等［11］提出集對分析和可變模糊集的海綿城市建設績效評價方法。綜合以上研究可知，德爾菲法、層次分析法、系統動力學法、物元可拓法等常用的海綿城市建設績效評價方法計算過程簡單，適用范圍廣，但評價結果較多建立在專家主觀評判合理、指標信息充分的基礎上，評價過程缺乏數形結合，缺少直觀性。此外，海綿城市建設在我國起步較晚，缺乏實踐經驗且理論體系不夠完善，增加了評價過程的不確定性和模糊性，使得其績效評價結果的客觀性不夠。已有研究成果表明［12－13］，海綿城市建設績效評價指標具有一定的灰色性，指標信息不完整且以定性為主，而受制于專家主觀認知能力差異和指標信息不完整等因素，造成現有海綿城市建設績效評價方法難以解決專家主觀評判任意性、指標灰色性對評價結果的干擾且評價過程不直觀等問題，無法確定影響海綿城市建設績效評價的敏感性指標。因此，為了在指標信息不充分、專家決策主觀性強的情況下提升指標賦權的客觀性，更加真實地反映指標重要性，需解決指標信息不完整對指標權重的干擾。數據包絡法作為生產效率評價模型，起初在效率評價領域得到廣泛應用，王玲［14］將其引入指標賦權領域，通過C2R 模型充分識別指標完整信息，可在指標信息不完整的情況下相較于層次分析法等主觀打分法更客觀地得到指標權重。向量夾角余弦以空間幾何向量的形式描述目標向量與理想向量的貼近度，通過計算兩者的夾角余弦值得到評價目標等級，使得相對抽象和復雜的評價數據經幾何模型轉換跳出數理模型本身，相較于數理方法評價過程更直觀、簡潔且契合人類思維邏輯，適用于多目標、復雜性問題評價［15］。

基于此，本文提出基于數據包絡法（Data Envelopment Analysis，DEA）和向量夾角余弦（Vector Angle Cosine，VAC）的海綿城市建設績效評價方法，試圖利用數據包絡法中C2R 模型計算指標權重，降低主觀因素和指標灰色性對權重的影響；同時利用向量夾角余弦方法計算評價目標向量與理想向量的夾角余弦值，得到海綿城市建設績效等級，運用單因素敏感性分析求得敏感性指標。最后，以鶴壁市海綿城市建設為例進行績效評價，并將評價結果與常見的績效評價方法所得結果進行對比，驗證本文提出方法的科學適用性，以期為海綿城市建設績效管理提供可行性建議。

1 評價指標的構建

海綿城市建設是指城市能夠像海綿一樣，在發生內澇災害時能充分發揮吸水、滲水、蓄水等功能并將儲存的水釋放和利用。從海綿城市定義中不難看出，其包括雨水吸收調蓄和釋放利用2 個方面［16］。雨水吸收調蓄是指通過城市排水系統和雨水處理系統實現雨水徑流總量和城市面源污染的源頭控制、過程傳輸、末端管理。在源頭控制方面，主要與水生態、水環境指標相關，比如年徑流總量控制率、年均地下水位穩定率等指標；在過程傳輸方面，主要考慮供水管網漏損控制率、河流管渠溢流污染控制率；在末端管理方面，主要與污水控制率、飲用水達標率、水環境質量達標率等關聯。雨水釋放利用指的是借助海綿城市建設為城市提供足量的水資源，主要包括水量和水質2 個方面，與河湖水質達標率、水環境質量達標率、飲用水達標率等相關。此外，海綿城市的建設制度及執行情況關乎海綿城市建設資金來源、政策支持和建設質量控制等方面，是不容忽視的指標。結合《海綿城市建設績效評價與考核辦法（試行）》相關規定和文獻［1－10］成果以及已建成海綿城市情況，從水生態、水環境、水資源、水安全、制度建設與執行、顯示度6 個維度構建海綿城市建設績效評價指標體系。考慮到各指標量綱不同，對指標值進行歸一化處理，結合文獻［7］中關于海綿城市建設績效等級劃分的原則，本文將其劃分為5 個等級，詳見表1。

表1 海綿城市建設績效評價指標體系及其分級標準

2 評價方法

2.1 數據包絡法賦權

數據包絡法作為效率評價方法，主要應用于投入和產出領域，用來評價投入效率［17］。經過學者亢磊磊等［18］、李孟剛等［19］深入研究和改進，將其創新運用在指標賦權方面，以決策單元輸入、輸出的權重為變量，利用線性規劃方法計算指標權重，權重的確定取決于客觀數據本身，相對于層次分析法、專家打分法等主觀賦權方法更具客觀性。此外，數據包絡法無須決策者對指標信息深入了解，能夠巧妙解決指標灰色性、不透明性難題，提高專家評估結果的準確性［14］。考慮海綿城市建設績效評價指標的主觀性和灰色性，采用數據包絡法求解指標權重，可以在一定程度上解決指標灰色性、決策數據主觀性對權重的干擾。

設指標ai（1 ≤i≤n）的決策單元為DMUi（Decision Making Unit，DMU），組成矩陣MA。每一個決策單元DMUi有g個輸入變量和l個輸出變量，即xi＝（x1i，x2i，…，xgi）＞0，yi＝（y1i，y2i，…，yli）＞0。xij和yij分別表示DMUj的輸入和輸出變量。根據評價目標對象不同，數據包絡法衍生出C2R、BC2、FG、ST 等若干種模型。其中，C2R 模型相對于其他幾種模型在整體有效性方面更具優勢［20］，借鑒文獻［21-22］將C2R 模型轉化為顯性線性規劃模型。

式中：hi為指標ai的權重向量；μT為μi的置換向量，μi為ai的剩余變量；pT為pi的置換向量，pi為ai的松弛變量；p為松弛變量，p＝th，h為指標權重，t表示線性變換函數，t＝1/（hTxi），hT為權值的置換向量；μ為剩余變量。

C2R 模型作為多目標效率評價模型，有嚴格的輸入和輸出變量區分，比如可將本金作為投入，利潤作為產出，而海綿城市建設績效評價指標難以嚴格劃分輸入和輸出兩種變量。參考文獻［19］中輸入和輸出變量劃分原則，令輸出變量為1，輸入變量為指標規范化處理后的結果，得到輸出變量為1 的C2R 模型。

2.2 向量夾角余弦

海綿城市建設績效評價的主要目的是明確海綿城市建設績效等級，確定海綿城市建設績效的敏感性指標，其本質是計算評價目標向量與理想目標向量的貼近度。向量夾角余弦方法通過計算空間向量的余弦值大小，判定兩個主體的差異性，通過敏感性分析確定敏感性指標，被廣泛運用在效益和安全評價領域［23］。此外，作為一種檢驗一致性的純數學方法，利用數學幾何思維，通過空間非零向量的夾角余弦值確定兩者的貼近度，相對于灰色關聯和TOPSIS 等方法，在直觀性和簡潔性方面具有突出優勢［15］。因此，將向量夾角余弦引入海綿城市建設績效評價，兩者在方法論上具有一定的相通性。

利用向量夾角余弦將海綿城市建設績效評價問題從代數問題轉化成空間幾何問題，通過數和形的轉化，可巧妙解決海綿城市建設績效評價的多指標、多層級問題，并可從根本上克服因數據線性相關而難以計算的困難［24］。

1）設評價目標向量Xi＝［xi1，xi2，…，xin］，理想目標向量，評價目標與理想目標的夾角余弦為

2）考慮到海綿城市建設績效評價指標較多，為快速確定影響建設績效的敏感性指標，為決策者提供可行性建議，提高決策效率，參考文獻［24］在向量夾角余弦計算中引入單因素敏感性分析，通過敏感性系數確定指標敏感性。單因素敏感性分析指的是通過單一指標變化而其他指標均保持不變，來分析該指標對評價目標的影響程度［20］，常用敏感性系數α表示，其計算公式為

式中：ρi－Vj為去掉指標Vj后的余弦值。

若α＞0，則指標對評價目標具有負向作用，構成敏感性指標；若α＜0，則對目標具有正向作用，不構成敏感性指標。

3）對定性和定量指標進行初步處理，得到決策向量Xi＝［xij］。

4）指標歸一化處理。將海綿城市建設績效評價指標劃分為成本型和效益型兩類（成本型指標值越小越好，效益型指標則相反），然后按照式（6）進行無量綱化處理，得到新的向量＝［］。

結合數據包絡法得到的指標最優權重對新向量加權處理，得到加權矩陣Y。

5）確定理想目標。令理想目標為加權矩陣Y的最優解，即取值1。

3 案例分析

以我國首批海綿城市建設試點之一的鶴壁市為例，運用數據包絡法和向量夾角余弦對其進行績效評價。按照規劃要求，鶴壁市2015—2017 年需建設落地317 個海綿城市項目，項目內容包括河道整治、道路提升、雨污水分流改造等。通過對已建成的鶴壁市海綿城市建設績效評價，確定影響海綿城市建設績效的敏感性指標，為后續其他海綿城市建設項目績效管理提供可行性建議。

3.1 指標轉化

1）定性指標。對于定性指標采用專家投票打分法，參考五級評定原則確定重要性。考慮到不同指標的量綱不同造成無法計算，利用滿分為1 分制，根據重要性排序，每降低一個等級減少0.25 分，所有專家打分均值即指標i最終得分εi。五級評定等級及對應的分值見表2。

表2 五級評定等級及對應的分值

2）定量指標。對于定量指標，按照等寬度區間法進行無量綱化處理，即把最大值Tmax和最小值Tmin之間均分5 個區間L，則定量指標區間為［Tmin，Tmin＋L），［Tmin＋L，Tmin＋2L，），［Tmin＋2L，Tmin＋3L），［Tmin＋3L，Tmin＋4L），［Tmin＋4L，Tmax］。

3.2 指標權重計算

以A2維度的4 個指標為例，參考經典的9 標度打分規則，得到判斷矩陣MA。

利用式（1）計算權重：

maxh41＝0.231，maxh42＝0.387，maxh43＝1，maxh44＝0.277，其值均小于等于1，表明專家決策數據科學，無須重新測算。

同理，一級指標最優權重：h?＝（0.173，0.235，0.217，0.203，0.168，0.094）。二級指標最優權重：h?1 ＝（0.311，0.283，0.185，0.311）；＝（0.326，0.238，0.279，0.157）；h?3 ＝（0.423，0.346，0.231）；＝（0.189，0.267，0.174，0.235，0.135）；＝（0.195，0.193，0.323，0.289）。

3.3 向量夾角余弦

1）利用式（6）處理指標初始數據，得到向量X′i；然后與指標最優權重合成，利用式（7）得到加權矩陣Y。Y＝［0.654，0.324，0.543，0.658，0.973，0.695，0.735，0.485，0.864，0.694，0.684，0.853，0.749，0.925，0.848，0.849，0.863，0.784，0.736，0.698，0.465，0.439，0.563，0.764］T。

2）利用向量夾角余弦方法計算評價目標與理想目標相似度之前，應明確理想向量X?，參考文獻［23］中理想向量選擇的原則，結合項目實際情況，取各指標值為1，則有：X?＝［1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1］T。

3）計算向量夾角余弦值。利用式（4）計算向量夾角余弦值：ρ＝cos〈X，X?〉＝0.512。參考表1 得出鶴壁市海綿城市建設績效等級為Ⅲ級，屬于中等。該結論與鶴壁市海綿城市建設中期國家發展改革委考核結果基本一致。

4）為進一步挖掘海綿城市建設績效的敏感性指標，為管理者提供更具針對性的決策參考依據，利用式（5）計算指標敏感性系數，結果見圖2。

圖2 指標敏感性系數

5）結果分析。由圖2 可知：A14城市熱島效應緩解情況、A21河湖水質達標率、A31污水再生利用率、A43污水控制率、A52藍線綠線劃定合理性等5 個指標的敏感性系數大于0，表明這5 個指標對海綿城市建設績效影響較大，構成敏感性指標。

6）不同方法對比驗證分析。為驗證本文提出的海綿城市建設績效評價方法的優勢和評價結果的合理性，在賦權方法上選擇與層次分析法對比，在結果直觀性方面選擇與灰色關聯法對比，同時采用績效評價領域經典的模糊數學理論綜合評價鶴壁市海綿城市建設績效，結果見表3（其中實際值取自國家發展改革委對鶴壁市海綿城市建設績效考核的結果）。

表3 不同績效評價方法的評估結果及誤差對比

由表3 可知：4 種評價方法結論基本一致，驗證了數據包絡和向量夾角余弦方法運用于海綿城市建設績效評價是可行的。從相對誤差來看，數據包絡和向量夾角余弦方法相對誤差僅為1.73%，小于其他3 種方法的相對誤差值，表明該方法的計算結果與鶴壁市海綿城市建設績效實際情況更為貼近，且向量夾角余弦相對于灰色關聯法更加直觀和簡潔地展示了計算過程，數據包絡法能有效規避專家決策的主觀性和指標信息不完整帶來的結果失真，提升了評價結果的科學性。另外，層次分析法認為城市熱島效應緩解情況、河湖水質達標率、污水再生利用率、污水控制率、藍線綠線劃定合理性在同級別指標中所占權重較大，與單因素敏感性分析結果相符，證明了單因素敏感性分析結果的科學性。

4 結論

1）本文建立了基于數據包絡法和向量夾角余弦的海綿城市建設績效評價方法，對鶴壁市海綿城市建設績效進行評價，并與模糊層次分析法、灰色關聯法、層次分析和向量夾角余弦法所得的評價結果對比分析。實例證明，本文提出的方法與常用的海綿城市建設績效評價方法所得結論基本一致，且相對誤差值較另外3 種方法更小，體現了數據包絡法和向量夾角余弦運用在海綿城市建設績效評價中具有可行性，且結果更合理。

2）利用向量夾角余弦方法計算評價目標向量與理想目標向量的貼近度，通過空間幾何的形式更加直觀地確定目標等級。結果表明，鶴壁市海綿城市建設績效等級為Ⅲ級，屬于中等水平。根據敏感性分析結果可知：城市熱島效應緩解情況、河湖水質達標率、污水再生利用率、污水控制率、藍線綠線劃定合理性5 個指標構成海綿城市建設績效評價敏感性指標。

3）利用數據包絡法中C2R 模型計算指標權重，相對于層次分析法較好地降低了專家主觀因素和指標灰色性對權重計算的不利影響，提升了指標賦權的科學性。但是，考慮到海綿城市建設績效評價指標的復雜性，單一賦權方法難免偏頗，在后續指標賦權時可根據指標情況，適當采取組合賦權的方式，進一步提升賦權的合理性。