高等數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)與應(yīng)用
——以“定積分的概念”為例

張 幸

西安翻譯學(xué)院 陜西西安 710105

高等數(shù)學(xué)是本科院校十分重要的一門(mén)通識(shí)類(lèi)課程,通過(guò)本課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能夠掌握函數(shù)微積分學(xué)的基本知識(shí)、基本理論和基本運(yùn)算技能,逐步增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力、運(yùn)算能力、抽象思維和空間想象能力。同時(shí)強(qiáng)調(diào)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)際能力,使學(xué)生在得到思維訓(xùn)練和提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí),為后繼課程的學(xué)習(xí)和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)面打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。近幾年來(lái),全國(guó)高校順應(yīng)時(shí)代需求,開(kāi)展了課程思政的改革浪潮,如何將思政元素與數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系,關(guān)鍵需要找到合適的切入點(diǎn),在引導(dǎo)學(xué)生抽象概念的同時(shí),進(jìn)一步充實(shí)學(xué)生的思想教育。教育是與時(shí)俱進(jìn)的,高等數(shù)學(xué)以往的教學(xué)方式已不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,基于這樣實(shí)際背景,本文以定積分定義為教學(xué)案例,通過(guò)獨(dú)特創(chuàng)新的教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,以此提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

1 前言導(dǎo)讀

定積分的概念起源于求平面圖形的面積,定積分的思想源于古代數(shù)學(xué)思想。比如古希臘時(shí)期阿基米德在公元前240年左右,就曾用求和的方法計(jì)算過(guò)拋物線(xiàn)弓形及其他圖形的面積,公元263年我國(guó)劉徽提出的割圓術(shù)也是同樣的思想。

現(xiàn)代教科書(shū)中有關(guān)定積分的定義是由黎曼給出的,定積分概念的理論基礎(chǔ)是“和的極限”的思想,這種思想在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)等知識(shí)領(lǐng)域以及人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中具有重要的意義,很多問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是完全相似的。基于定積分的實(shí)際意義,我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中不能直接從純理論內(nèi)容介紹定積分,這樣會(huì)掩蓋知識(shí)本身的實(shí)際價(jià)值,也同時(shí)會(huì)使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中失去學(xué)習(xí)的熱情,為了提高教學(xué)效果,就必須要結(jié)合實(shí)際生活中的案例,生動(dòng)地引入定積分,充分體現(xiàn)出定積分的意義所在。

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 問(wèn)題的提出

我們的生活中充滿(mǎn)著各種變速運(yùn)動(dòng),最具代表的就是人們出行的交通工具,例如,公交車(chē)從A站到達(dá)B站做的是變速運(yùn)動(dòng),那么如何計(jì)算出兩站之間的距離呢?為了探究路程問(wèn)題,我們需要利用已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)知識(shí)結(jié)合科學(xué)的推理,找出一條解決路徑。

我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽提出“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割以至于不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣”,其方法是利用已掌握的圓內(nèi)接正多邊形的面積,求得圓的面積。其關(guān)鍵思想是以直代曲,用圓內(nèi)接正n多邊形近似代替圓,當(dāng)n無(wú)限地增大時(shí),圓內(nèi)接正n多邊形的面積無(wú)限接近于圓面積,最終以極限的思想得到圓的面積。

2.2 問(wèn)題的思考

思考1:我們中學(xué)時(shí)期學(xué)習(xí)過(guò)求物體做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程,即路程=時(shí)間×速度。劉徽的割圓術(shù)的主要思想方法是“以直代曲”,那對(duì)于求解變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程,有什么樣的啟發(fā)呢?

在我國(guó)的歷史長(zhǎng)河中,慣有“以不變應(yīng)變”的哲學(xué)思想方法,而該方法為今天解決變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題開(kāi)啟了奇妙而科學(xué)的引導(dǎo)。在此階段讓學(xué)生自主思考“以不變應(yīng)變”和“以直代曲”之間的聯(lián)系和共性,總結(jié)出核心結(jié)論:“以均勻替代非均勻”,進(jìn)而引出利用勻速運(yùn)動(dòng)的思想解決變速運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的解決方案。

思考2:如何構(gòu)建勻速運(yùn)動(dòng)和變速運(yùn)動(dòng)之間的橋梁?

我們解決問(wèn)題都是從細(xì)節(jié)入手,先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分解,從細(xì)微處尋求切入點(diǎn),也就是以微觀的視角解決宏觀問(wèn)題,因此首先需要營(yíng)造出微觀環(huán)境,在數(shù)學(xué)方法中我們可以大化小,分割區(qū)間以此營(yíng)造微觀環(huán)境。我們將物體經(jīng)過(guò)的時(shí)間段(區(qū)間)進(jìn)行分割,劃分成若干個(gè)小段,在每一小段中可以將物體近似看作勻速運(yùn)動(dòng),進(jìn)而近似得到每一小段中物體經(jīng)過(guò)的路程。

通過(guò)學(xué)生與教師一起對(duì)問(wèn)題的分析和研究,鍛煉了學(xué)生自主思考問(wèn)題的能力,培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯推理,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。更有意義的是定積分的思想讓學(xué)生意識(shí)到遇到問(wèn)題,先要從小問(wèn)題著手,大問(wèn)題自然水到渠成,引導(dǎo)學(xué)生探索問(wèn)題的解決方案時(shí),體會(huì)化整為零的思想,反映生活中將大而復(fù)雜的問(wèn)題盡可能分成小而簡(jiǎn)單的問(wèn)題去解決,培養(yǎng)學(xué)生精益求精、勇于探索的科學(xué)精神,學(xué)會(huì)用所學(xué)知識(shí)解決生活中所遇到的實(shí)際問(wèn)題。介紹定積分時(shí),引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)習(xí)近平總書(shū)記提出的“人類(lèi)命運(yùn)共同體”,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到任何個(gè)人都不可能獨(dú)善其身,要做到盡職盡責(zé),才能實(shí)現(xiàn)共同發(fā)展。這種思想方法貫穿于各個(gè)領(lǐng)域,小到身邊事,大到國(guó)家事,乃至整個(gè)世界。

2.3 抽象數(shù)學(xué)概念

通過(guò)前面學(xué)生共同的思考總結(jié)出解決方法,主要通過(guò)“分(分割)、勻(以勻速代替變速)、合(合體)、精(取極限)”四步,進(jìn)而抽象到數(shù)學(xué)領(lǐng)域,給出定積分的概念。

如果函數(shù)f(x)在[a,b]上定積分存在,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在[a,b]上可積。

2.4 自主思考和練習(xí)

完成定積分概念的介紹后,為了讓學(xué)生更深刻地體會(huì)定積分的實(shí)際作用,需拓寬應(yīng)用范圍,為學(xué)生提供一些新的實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生完全自主思考,給出具體的解決方案,使學(xué)生更進(jìn)一步理解和掌握定積分的概念,同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到科學(xué)的數(shù)學(xué)推理能夠解決很多復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題。例如,(A)求解由曲線(xiàn)y=x2,x軸和直線(xiàn)x=1所圍成平面圖形的面積。(B)求解非均勻分布的棒的質(zhì)量,即已知密度函數(shù)μ(x)=2x,求位于區(qū)間[1,2]上棒的質(zhì)量。對(duì)學(xué)生進(jìn)行分組(A組和B組),分別完成對(duì)應(yīng)的問(wèn)題。在此過(guò)程中,讓學(xué)生切身投入其中,利用定積分的思想,經(jīng)過(guò)“分、勻、合、精”四步法,解決相應(yīng)的問(wèn)題,最后每組的學(xué)生代表上臺(tái)講解本組在解決問(wèn)題過(guò)程中的思路、方案和結(jié)果。為此培養(yǎng)學(xué)生自主思考的能力,鍛煉學(xué)生的開(kāi)放創(chuàng)新思維,體驗(yàn)共同探討問(wèn)題的團(tuán)隊(duì)合作精神,使學(xué)生深刻體會(huì)團(tuán)體力量,并且通過(guò)翻轉(zhuǎn)課堂的方式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,培養(yǎng)自信心和勇氣。

2.5 理論問(wèn)題推導(dǎo),鞏固知識(shí)的應(yīng)用

介紹了定積分的相關(guān)符號(hào),定積分的概念近乎完整,于是從定積分定義本身,我們繼續(xù)探索它其中的內(nèi)涵還有什么。此時(shí)用提問(wèn)的方式,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考以下問(wèn)題。(1)函數(shù)可積的條件是什么?(2)定積分實(shí)質(zhì)上是一個(gè)常量還是變量?(3)定義中提到的兩個(gè)任意性有什么意義?(4)定積分的大小主要由哪些因素決定?學(xué)生經(jīng)歷之前的引例以及自主練習(xí),很容易得到相關(guān)的結(jié)論,即:

(1)如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),或函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則函數(shù)f(x)在[a,b]上可積。

(2)定積分是一種和式的極限,即是一個(gè)實(shí)數(shù)。

(3)如果函數(shù)可積,則不管如何劃分積分區(qū)間,如何選取子區(qū)間里的點(diǎn),都不會(huì)影響定積分的值。它的大小僅與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān),而與積分變量用什么字母表示沒(méi)有關(guān)系。

從以上結(jié)論可以發(fā)現(xiàn),定積分的值不受區(qū)間劃分方式和點(diǎn)選取的影響,這為我們計(jì)算定積分的過(guò)程中提供了便捷。因此,我們利用定積分定義的方法來(lái)計(jì)算定積分,體會(huì)其中的巧妙之處,進(jìn)而加深定積分思想方法的應(yīng)用。

由定積分的定義得:

定積分的計(jì)算是微積分學(xué)的重要部分,通過(guò)本例題讓學(xué)生觀察,利用定義計(jì)算定積分是采取了將區(qū)間等距離劃分的特殊手段,但有一點(diǎn)缺陷就是計(jì)算過(guò)程煩瑣。對(duì)于復(fù)雜一些的函數(shù)求積分,顯然此方法不是最有效的,那么我們還需繼續(xù)去探尋,引導(dǎo)學(xué)生思考尋求其他有效的簡(jiǎn)便方法。

2.6 深入思考,擴(kuò)展知識(shí)的應(yīng)用

經(jīng)過(guò)對(duì)定積分幾何意義的全面分析和總結(jié),讓學(xué)生利用基礎(chǔ)知識(shí),計(jì)算若干道定積分,習(xí)題的特點(diǎn)是曲線(xiàn)圍成的平面圖形是常見(jiàn)的規(guī)則圖形。在此階段,令學(xué)生深刻了解定積分的幾何意義,以及擴(kuò)展了計(jì)算定積分的方法。

2.7 思考和總結(jié)

我們解決任何問(wèn)題都是利用已知事物解決未知事物,利用均勻變化解決非均勻變化問(wèn)題,定積分重要的功能是為我們研究某些問(wèn)題提供一種思想方法(或思維模式),即用無(wú)限的過(guò)程處理有限的問(wèn)題、以直代曲、局部線(xiàn)性化等,也體現(xiàn)出定積分化繁為簡(jiǎn)、大事化小的哲學(xué)思想。定積分不僅是數(shù)學(xué)史上,而且是科學(xué)思想史上的偉大創(chuàng)舉。

3 教學(xué)效果的評(píng)價(jià)

通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),了解定積分是解決非均勻變化問(wèn)題的數(shù)量方法,通過(guò)介紹劉徽“割圓術(shù)”,啟發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決方法的橫向思考,在對(duì)整個(gè)定積分定義的引入、分析、應(yīng)用的全過(guò)程中,通過(guò)科學(xué)嚴(yán)密的邏輯思維方法去思考、分析問(wèn)題,最終得出解決方法。在學(xué)習(xí)方面,讓學(xué)生不僅加深了對(duì)知識(shí)的理解,培養(yǎng)了抽象思維、邏輯推理、嚴(yán)密思考和熟練的計(jì)算能力,增強(qiáng)了應(yīng)用的意識(shí)和興趣,也培養(yǎng)了創(chuàng)新的精神和能力。

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中,主要采用多媒體和板書(shū)相結(jié)合的教學(xué)方法,課堂中開(kāi)展以學(xué)生為主體的討論式課堂,一方面有效利用時(shí)間,另一方面提供給學(xué)生自主思考的機(jī)會(huì),以此更好地理解定積分的概念。課外時(shí)間利用網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)交流平臺(tái),與學(xué)生探討知識(shí),答疑解惑,使所有的疑惑能夠得到及時(shí)的解決,以便后續(xù)學(xué)習(xí)能暢通無(wú)阻。

結(jié)語(yǔ)

“傳道、授業(yè)、解惑”,傳道居首,做人為先。教學(xué)中,始終以學(xué)生為中心,不僅要科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂v授知識(shí),更要注重學(xué)生主動(dòng)思考、解決問(wèn)題的能力,全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),適當(dāng)加入思政元素能引導(dǎo)學(xué)生提升哲學(xué)思想。高等數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科,要科學(xué)推進(jìn)教學(xué)方法,改變固定思維,靈活而生動(dòng)地展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和魅力值。從現(xiàn)階段的國(guó)情考慮,高科技的競(jìng)爭(zhēng)日益激烈,我國(guó)在很多尖端技術(shù)方面與西方國(guó)家還存在很大的差距,而最核心的知識(shí)領(lǐng)域就是基礎(chǔ)學(xué)科,我們必須要摟起袖子奮力攻克基礎(chǔ)領(lǐng)域,擁有更多的自主知識(shí)產(chǎn)權(quán),將核心技術(shù)握在我們自己手里,引領(lǐng)前沿科技繼續(xù)發(fā)展。